関数 $y = (\sin x)^x$ ($0 < x < \pi$) を対数微分法を用いて微分します。

1. 問題の内容

関数 $y = (\sin x)^x$ ($0 < x < \pi$) を対数微分法を用いて微分します。

2. 解き方の手順

1. 両辺の自然対数を取ります。

$$\ln y = \ln((\sin x)^x) = x \ln(\sin x)$$

2. 両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分、右辺は積の微分を使用します。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\sin x) + x \frac{1}{\sin x} \cos x = \ln(\sin x) + x \cot x$$

3. $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$\frac{dy}{dx} = y (\ln(\sin x) + x \cot x)$$

4. $y = (\sin x)^x$ を代入します。

$$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\ln(\sin x) + x \cot x)$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\ln(\sin x) + x \cot x)$