(1) $\int \log(3x) dx$ を求めよ。 (2) $\int \log(x+1) dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\int \log(3x) dx$ を求めよ。

(2) $\int \log(x+1) dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

部分積分法を用いて計算します。

$u = \log(3x)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{3x} \cdot 3 dx = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

よって、

$\int \log(3x) dx = x \log(3x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log(3x) - \int 1 dx = x \log(3x) - x + C$

(2)

部分積分法を用いて計算します。

$u = \log(x+1)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x+1} dx$, $v = x$ となります。

よって、

$\int \log(x+1) dx = x \log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx = x \log(x+1) - \int \frac{x+1-1}{x+1} dx$

$= x \log(x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x \log(x+1) - (x - \log(x+1)) + C = x \log(x+1) - x + \log(x+1) + C = (x+1)\log(x+1) - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \log(3x) dx = x \log(3x) - x + C$

(2) $\int \log(x+1) dx = (x+1)\log(x+1) - x + C$