与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x}$

を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$

を利用して計算できます。

与えられた式を変形していきます。

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^3$

極限の性質より、

$\lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^3 = \left[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \right]^3$

ここで、

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e$

なので、

$\left[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \right]^3 = e^3$

3. 最終的な答え

$e^3$