与えられた積分を計算します。積分は $\int (x^3-1)^4 x^2 dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int (x^3-1)^4 x^2 dx$ です。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、置換積分を用います。

まず、$t = x^3 - 1$ と置きます。

このとき、$\frac{dt}{dx} = 3x^2$ となり、$dx = \frac{dt}{3x^2}$ となります。

したがって、積分は

$\int t^4 x^2 \frac{dt}{3x^2} = \int \frac{1}{3} t^4 dt = \frac{1}{3} \int t^4 dt$

となります。

$\int t^4 dt = \frac{t^5}{5} + C$ なので、

$\frac{1}{3} \int t^4 dt = \frac{1}{3} (\frac{t^5}{5} + C) = \frac{t^5}{15} + C'$

ここで、$t = x^3 - 1$ を代入して、

$\frac{(x^3-1)^5}{15} + C'$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{(x^3-1)^5}{15} + C$