与えられた関数 $y = \frac{(x-5)^4}{(x-7)^5}$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{(x-5)^4}{(x-7)^5}$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式は、関数 $y = \frac{u}{v}$ に対して、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ となります。

この問題では、$u = (x-5)^4$ および $v = (x-7)^5$ とします。

まず、$u$ と $v$ の微分を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(x-5)^4 = 4(x-5)^3$

$v' = \frac{d}{dx}(x-7)^5 = 5(x-7)^4$

商の微分公式に $u$, $v$, $u'$, $v'$ を代入します。

$y' = \frac{4(x-5)^3(x-7)^5 - (x-5)^4 \cdot 5(x-7)^4}{(x-7)^{10}}$

分子で$(x-5)^3(x-7)^4$を括り出します。

$y' = \frac{(x-5)^3(x-7)^4 [4(x-7) - 5(x-5)]}{(x-7)^{10}}$

分子の括弧内を計算します。

$y' = \frac{(x-5)^3(x-7)^4 [4x - 28 - 5x + 25]}{(x-7)^{10}}$

$y' = \frac{(x-5)^3(x-7)^4 [-x - 3]}{(x-7)^{10}}$

$(x-7)^4$を約分します。

$y' = \frac{(x-5)^3(-x-3)}{(x-7)^6}$

$y' = \frac{-(x-5)^3(x+3)}{(x-7)^6}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{(x-5)^3(x+3)}{(x-7)^6}$