関数 $f(x,y)$ が与えられています。 $f(x,y) = \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2+y^2} + xy^3$, $(x,y) \neq (0,0)$ $f(x,y) = 0$, $(x,y) = (0,0)$ 方向ベクトル $l_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ に関する $f$ の方向微分 $g_1(x,y;\theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x,y)$ および、 $g_2(x,y;\theta,\phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x,y;\theta)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $g_1(0,0;\theta)$ を求めます。ただし、$f(x,y)$ は $(0,0)$ で微分可能であるとして良いです。 (2) $g_2(0,0;0,\pi/2)$ と $g_2(0,0;\pi/2,0)$ を求めます。 (3) $g_2(0,0;\pi/4,\pi/4)$ を求めます。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が与えられています。

$f(x,y) = \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2+y^2} + xy^3$, $(x,y) \neq (0,0)$

$f(x,y) = 0$, $(x,y) = (0,0)$

方向ベクトル $l_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ に関する $f$ の方向微分 $g_1(x,y;\theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x,y)$ および、

$g_2(x,y;\theta,\phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x,y;\theta)$

について、以下の問いに答えます。

(1) $g_1(0,0;\theta)$ を求めます。ただし、$f(x,y)$ は $(0,0)$ で微分可能であるとして良いです。

(2) $g_2(0,0;0,\pi/2)$ と $g_2(0,0;\pi/2,0)$ を求めます。

(3) $g_2(0,0;\pi/4,\pi/4)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y)$ が $(0,0)$ で微分可能であるとき、方向微分は

$g_1(x,y;\theta) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \sin\theta$ で与えられます。

まず、$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ と $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ を求めます。

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

したがって、$g_1(0,0;\theta) = 0 \cdot \cos\theta + 0 \cdot \sin\theta = 0$ です。

(2) $g_2(0,0;\theta,\phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(0,0;\theta) = \frac{\partial g_1}{\partial x}(0,0;\theta) \cos\phi + \frac{\partial g_1}{\partial y}(0,0;\theta) \sin\phi$ となります。

$g_1(x,y;\theta)$ を求める必要があります。

$g_1(x,y;\theta) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x + t\cos\theta, y + t\sin\theta) - f(x,y)}{t}$

$(x,y)=(0,0)$のとき、

$g_1(0,0;\theta) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{2t^4\cos^3\theta \sin\theta - 3t^4\cos\theta \sin^3\theta}{t^2\cos^2\theta+t^2\sin^2\theta} + t^4\cos\theta \sin^3\theta}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{2t^2\cos^3\theta \sin\theta - 3t^2\cos\theta \sin^3\theta + t^4\cos\theta \sin^3\theta}{t} = 0$

$g_1(0,0;\theta) = 0$ なので、

$\frac{\partial g_1}{\partial x}(0,0;\theta) = 0$, $\frac{\partial g_1}{\partial y}(0,0;\theta) = 0$

したがって、$g_2(0,0;\theta,\phi) = 0$ となります。

$g_2(0,0;0,\pi/2) = 0$

$g_2(0,0;\pi/2,0) = 0$

(3) 同様に $g_2(0,0;\pi/4,\pi/4) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $g_1(0,0;\theta) = 0$

(2) $g_2(0,0;0,\pi/2) = 0$, $g_2(0,0;\pi/2,0) = 0$

(3) $g_2(0,0;\pi/4,\pi/4) = 0$