与えられた2変数関数 $f(x, y)$ の極値を求めます。具体的には、以下の2つの関数について極値を求めます。 (1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$ (2) $f(x, y) = x^3 + x^2y + y^2 + 2y$

1. 問題の内容

与えられた2変数関数 $f(x, y)$ の極値を求めます。具体的には、以下の2つの関数について極値を求めます。

(1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$

(2) $f(x, y) = x^3 + x^2y + y^2 + 2y$

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$ について

まず、偏微分を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y + 2$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y - 1$

次に、連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解いて、停留点を求めます。

$2x - y + 2 = 0$

$-x + 2y - 1 = 0$

上の式を2倍して、

$4x - 2y + 4 = 0$

下の式と足し合わせると、

$3x + 3 = 0$

$x = -1$

$x = -1$ を $2x - y + 2 = 0$ に代入すると、

$-2 - y + 2 = 0$

$y = 0$

したがって、停留点は $(-1, 0)$ です。

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -1$

判別式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

$D = (2)(2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0$

$f_{xx} = 2 > 0$ なので、停留点 $(-1, 0)$ で極小値を持ちます。

極小値は $f(-1, 0) = (-1)^2 - (-1)(0) + (0)^2 + 2(-1) - (0) + 7 = 1 - 0 + 0 - 2 - 0 + 7 = 6$ です。

(2) $f(x, y) = x^3 + x^2y + y^2 + 2y$ について

まず、偏微分を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 2xy$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2y + 2$

次に、連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解いて、停留点を求めます。

$3x^2 + 2xy = 0$

$x^2 + 2y + 2 = 0$

$x(3x + 2y) = 0$ より、$x = 0$ または $3x + 2y = 0$ です。

(i) $x = 0$ のとき、

$0^2 + 2y + 2 = 0$

$2y = -2$

$y = -1$

したがって、停留点は $(0, -1)$ です。

(ii) $3x + 2y = 0$ のとき、$y = -\frac{3}{2}x$ を $x^2 + 2y + 2 = 0$ に代入すると、

$x^2 + 2(-\frac{3}{2}x) + 2 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

$x = 1$ または $x = 2$

$x = 1$ のとき、$y = -\frac{3}{2}(1) = -\frac{3}{2}$

したがって、停留点は $(1, -\frac{3}{2})$ です。

$x = 2$ のとき、$y = -\frac{3}{2}(2) = -3$

したがって、停留点は $(2, -3)$ です。

停留点は $(0, -1)$, $(1, -\frac{3}{2})$, $(2, -3)$ です。

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x + 2y$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2x$

判別式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

$D = (6x + 2y)(2) - (2x)^2 = 12x + 4y - 4x^2$

(i) $(0, -1)$ のとき、$D = 12(0) + 4(-1) - 4(0)^2 = -4 < 0$ なので、極値を持ちません。

(ii) $(1, -\frac{3}{2})$ のとき、$D = 12(1) + 4(-\frac{3}{2}) - 4(1)^2 = 12 - 6 - 4 = 2 > 0$

$f_{xx} = 6(1) + 2(-\frac{3}{2}) = 6 - 3 = 3 > 0$ なので、極小値を持ちます。

$f(1, -\frac{3}{2}) = (1)^3 + (1)^2(-\frac{3}{2}) + (-\frac{3}{2})^2 + 2(-\frac{3}{2}) = 1 - \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - 3 = \frac{4 - 6 + 9 - 12}{4} = -\frac{5}{4}$

(iii) $(2, -3)$ のとき、$D = 12(2) + 4(-3) - 4(2)^2 = 24 - 12 - 16 = -4 < 0$ なので、極値を持ちません。

3. 最終的な答え

(1) 極小値: $f(-1, 0) = 6$

(2) 極小値: $f(1, -\frac{3}{2}) = -\frac{5}{4}$