$a$と$b$を正の定数とする。等差数列 $a_n = a + (n-1)b$ ($n \ge 1$)について、以下の和を求めよ。 (1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1} a_{k+2}}$ (3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_k a_{k+1} a_{k+2}}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$a$と$b$を正の定数とする。等差数列 $a_n = a + (n-1)b$ ($n \ge 1$)について、以下の和を求めよ。

(1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1} a_{k+2}}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_k a_{k+1} a_{k+2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$

$a_{k+1} - a_k = (a + kb) - (a + (k-1)b) = b$ であるから、

$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{b} (\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}})$ と変形できる。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{b} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}})$

$=\frac{1}{b} (\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}})$

$=\frac{1}{b} (\frac{1}{a} - \frac{1}{a+nb})$

$=\frac{1}{b} \frac{a+nb-a}{a(a+nb)}$

$=\frac{nb}{b a(a+nb)}$

$=\frac{n}{a(a+nb)}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1} a_{k+2}}$

$a_{k+2} - a_k = (a+(k+1)b) - (a+(k-1)b) = 2b$ であるから、

$\frac{1}{a_k a_{k+1} a_{k+2}} = \frac{1}{2b a_{k+1}}(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+2}})$

$\frac{1}{a_k a_{k+1} a_{k+2}} = \frac{1}{2b}(\frac{1}{a_k a_{k+1}} - \frac{1}{a_{k+1} a_{k+2}})$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1} a_{k+2}} = \frac{1}{2b} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{a_k a_{k+1}} - \frac{1}{a_{k+1} a_{k+2}})$

$=\frac{1}{2b}(\frac{1}{a_1 a_2} - \frac{1}{a_{n+1} a_{n+2}})$

$=\frac{1}{2b}(\frac{1}{a(a+b)} - \frac{1}{(a+nb)(a+(n+1)b)})$

$=\frac{1}{2b} \frac{(a+nb)(a+(n+1)b) - a(a+b)}{a(a+b)(a+nb)(a+(n+1)b)}$

$=\frac{1}{2b} \frac{a^2 + (2n+1)ab+n(n+1)b^2 - a^2 - ab}{a(a+b)(a+nb)(a+(n+1)b)}$

$=\frac{1}{2b} \frac{2nab + n(n+1)b^2}{a(a+b)(a+nb)(a+(n+1)b)}$

$=\frac{n(2a+(n+1)b)}{2a(a+b)(a+nb)(a+(n+1)b)}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_k a_{k+1} a_{k+2}}$

$a_{k+2} - a_k = 2b$ であるから、

$k = \frac{a_{k+2} - a_k}{2b} - a + b$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_k a_{k+1} a_{k+2}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{(a_k-a)}{b a_k a_{k+1} a_{k+2}}$

$\frac{k}{a_k a_{k+1} a_{k+2}} = A(\frac{1}{a_k a_{k+1}} - \frac{1}{a_{k+1} a_{k+2}})$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{n}{a(a+nb)}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1} a_{k+2}} = \frac{n(2a+(n+1)b)}{2a(a+b)(a+nb)(a+(n+1)b)}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_k a_{k+1} a_{k+2}}$ 答えを求めることができませんでした。