与えられた関数 $V'(r) = \pi r^2 (2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}})$ の増減表を作成します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $V'(r) = \pi r^2 (2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}})$ の増減表を作成します。

2. 解き方の手順

まず、定義域を考えます。$\sqrt{1-r^2}$ が定義されるためには、$1-r^2 \ge 0$ である必要があります。しかし、$r$ が分母にあるため、$1-r^2 > 0$ である必要があります。したがって、$r^2 < 1$ より、$-1 < r < 1$ です。さらに、$r$ は半径なので、$0 \le r < 1$ となります。

次に、$V'(r) = 0$ となる $r$ を求めます。$\pi r^2 > 0$ なので、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$ を解けばよいです。

$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 2$

$r = 2\sqrt{1-r^2}$

$r^2 = 4(1-r^2)$

$r^2 = 4 - 4r^2$

$5r^2 = 4$

$r^2 = \frac{4}{5}$

$r = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

$0 \le r < 1$ より、$r = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ です。

$V'(r)$ の符号を調べます。$r$ は $0 \le r < 1$ の範囲にあり、$r = \frac{2}{\sqrt{5}}$ で $V'(r) = 0$ となることがわかりました。

$0 < r < \frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} < 2$ なので、$V'(r) > 0$ です。

$\frac{2}{\sqrt{5}} < r < 1$ のとき、$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} > 2$ なので、$V'(r) < 0$ です。

増減表は以下のようになります。

| $r$ | 0 | ... | $\frac{2}{\sqrt{5}}$ | ... | 1 |

|---|---|---|---|---|---|

| $V'(r)$ | | + | 0 | - | |

| $V(r)$ | | 増加 | 極大 | 減少 | |

3. 最終的な答え

増減表：

| $r$ | 0 | ... | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | ... | 1 |

|---|---|---|---|---|---|

| $V'(r)$ | | + | 0 | - | |

| $V(r)$ | | 増加 | 極大 | 減少 | |