直角三角形OABにおいて、以下の内積を求めます。 (1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ (2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB}$ (3) $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{AB}$

1. 問題の内容

直角三角形OABにおいて、以下の内積を求めます。

(1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB}$

(3) $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{AB}$

2. 解き方の手順

ベクトルの内積の定義 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos{\theta}$ を用いて計算します。ここで$\theta$はベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角です。

(1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$

OAの長さは2、OBの長さは$\sqrt{3}$、$\angle AOB = 30^\circ$なので、

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |OA||OB| \cos{\angle AOB} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos{30^\circ} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$

(2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ であるから、

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OA} = 3 - |OA|^2 = 3 - 2^2 = 3 - 4 = -1$

(3) $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ であるから、

$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} = |OB|^2 - 3 = (\sqrt{3})^2 - 3 = 3 - 3 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 3$

(2) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB} = -1$

(3) $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$