平面上に点O, A, Bがあり、$OA=1$, $OB=\sqrt{2}$, $\cos \angle AOB = \frac{1}{2\sqrt{2}}$である。辺ABを1:2に内分する点をPとする。以下の値を求め、ベクトル$\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{AH}$を$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$を用いて表す。

1. 問題の内容

平面上に点O, A, Bがあり、$OA=1$, $OB=\sqrt{2}$, $\cos \angle AOB = \frac{1}{2\sqrt{2}}$である。辺ABを1:2に内分する点をPとする。以下の値を求め、ベクトル$\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{AH}$を$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$を計算する。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |OA| |OB| \cos \angle AOB = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

次に、点Pは辺ABを1:2に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

点Qは直線OPに関して点Aと対称な点なので、点Hは線分AQの中点である。よって、

$\overrightarrow{OH} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OQ}}{2}$

$\overrightarrow{OQ} = 2\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA}$

また、$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AH}$

$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{AH} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{AH}$

$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} + k \overrightarrow{OP}$となる実数$k$が存在する。

$\overrightarrow{OH} = k\overrightarrow{OP} = k(\frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}) = \frac{2k}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{3}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} = (\frac{2k}{3}-1)\overrightarrow{OA} + \frac{k}{3}\overrightarrow{OB} = (\frac{2k-3}{3})\overrightarrow{OA} + \frac{k}{3}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OH}$は$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$の線形結合で表され、AHベクトルも同様に表される。

3. 最終的な答え

OA・OB = 1/2

OP = (2/3)OA + (1/3)OB

OQ= OA + 2AH

AH = ((2k-3)/3)OA + (k/3)OB

ア：1

イ：2

ウ：2

エ：3

オ：1

カ：3

キ：2

ク：2

ケ：3

コ：3

サ：1

シ：3