3点A(0, 6), B(9, 0), C(6, -2)が与えられています。線分AB上にAD:DB=1:2となる点Dがあります。 (1) 直線ABの傾きを求める。 (2) 点Dの座標を求める。 (3) 点Cを通り、傾きが直線ABの傾きに等しい直線の式を求める。 (4) x軸上に△ABC = △ABPとなる点Pを求める。ただし、点Pのx座標は9より小さいものとする。

1. 問題の内容

3点A(0, 6), B(9, 0), C(6, -2)が与えられています。線分AB上にAD:DB=1:2となる点Dがあります。

(1) 直線ABの傾きを求める。

(2) 点Dの座標を求める。

(3) 点Cを通り、傾きが直線ABの傾きに等しい直線の式を求める。

(4) x軸上に△ABC = △ABPとなる点Pを求める。ただし、点Pのx座標は9より小さいものとする。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABの傾きを求める。

傾きは(yの変化量)/(xの変化量)で計算できます。

点A(0, 6)と点B(9, 0)を通る直線の傾きは、

$\frac{0 - 6}{9 - 0} = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}$

(2) 点Dの座標を求める。

点Dは線分ABを1:2に内分する点なので、内分点の公式を使います。

点A(0, 6)と点B(9, 0)を1:2に内分する点Dの座標は、

$D_x = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 9}{1 + 2} = \frac{9}{3} = 3$

$D_y = \frac{2 \cdot 6 + 1 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{12}{3} = 4$

よって、点Dの座標は(3, 4)です。

(3) 点Cを通り、傾きが直線ABの傾きに等しい直線の式を求める。

点C(6, -2)を通り、傾きが$-\frac{2}{3}$の直線の式は、

$y - (-2) = -\frac{2}{3}(x - 6)$

$y + 2 = -\frac{2}{3}x + 4$

$y = -\frac{2}{3}x + 2$

(4) △ABC = △ABPとなる点Pを求めます。

まず△ABCの面積を求めます。A(0, 6), B(9, 0), C(6, -2)

△ABCの面積 = $\frac{1}{2}|(0(0 - (-2)) + 9(-2 - 6) + 6(6 - 0))| = \frac{1}{2}|0 + 9(-8) + 6(6)| = \frac{1}{2}|-72 + 36| = \frac{1}{2}|-36| = 18$

点Pはx軸上にあるので、P(p, 0)と置きます。△ABPの面積を求めます。A(0, 6), B(9, 0), P(p, 0)

△ABPの面積 = $\frac{1}{2}|(0(0 - 0) + 9(0 - 6) + p(6 - 0))| = \frac{1}{2}|0 - 54 + 6p| = \frac{1}{2}|6p - 54| = |3p - 27|$

△ABC = △ABPより、

$|3p - 27| = 18$

$3p - 27 = 18$ または $3p - 27 = -18$

$3p = 45$ または $3p = 9$

$p = 15$ または $p = 3$

点Pのx座標は9より小さいので、p = 3。 よってP(3, 0)。

3. 最終的な答え

(1) 直線ABの傾き: $-\frac{2}{3}$

(2) 点Dの座標: (3, 4)

(3) 点Cを通る直線: $y = -\frac{2}{3}x + 2$

(4) 点Pの座標: (3, 0)