平面上に $OA=1$, $OB=\sqrt{2}$, $\cos \angle AOB = \frac{1}{2}$ である $\triangle OAB$ がある。辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $P$ とする。$OP$ を $OA$ と $OB$ で表し、直線 $OP$ に関して点 $A$ と対称な点を $Q$ とする。線分 $AQ$ と直線 $OP$ の交点を $H$ とし、$OQ$ を $OA$ と $OB$ で表す。さらに直線 $OQ$ と直線 $AB$ の交点を $R$ とする。

1. 問題の内容

平面上に $OA=1$, $OB=\sqrt{2}$, $\cos \angle AOB = \frac{1}{2}$ である $\triangle OAB$ がある。辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $P$ とする。$OP$ を $OA$ と $OB$ で表し、直線 $OP$ に関して点 $A$ と対称な点を $Q$ とする。線分 $AQ$ と直線 $OP$ の交点を $H$ とし、$OQ$ を $OA$ と $OB$ で表す。さらに直線 $OQ$ と直線 $AB$ の交点を $R$ とする。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が辺 $AB$ を $1:2$ に内分するので、

$OP = \frac{2OA + OB}{3} = \frac{2}{3} OA + \frac{1}{3} OB$

よって、ア=$\frac{2}{3}$, イ=$\frac{1}{3}$。

ウ=$\frac{2}{3}$, オ=$\frac{1}{3}$, カ=$3$。

点 $H$ は線分 $AQ$ の中点なので、$OH$ は直線 $OP$ 上にあるから、

$OH = k OP$ と表せる。

$OQ = OA + 2AH$ であり、 $AH = OQ/2 - OA/2$

$OH \perp AQ$ より $OA \perp AQ$ であるから $OA \cdot AQ = 0$.

$AQ = OQ - OA$ なので $OA \cdot (OQ - OA) = 0$.

よって $OA \cdot OQ = OA \cdot OA = |OA|^2 = 1$.

$OQ = s OA + t OB$ とすると $OA \cdot OQ = s |OA|^2 + t (OA \cdot OB) = s + t |OA| |OB| \cos \angle AOB = s + t \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = s + t = 1$.

$OQ = OA + 2 AH$ に $OH = kOP = \frac{2k}{3} OA + \frac{k}{3} OB$ を代入して、

$OQ = OA + 2(OH - OA) = 2OH - OA = 2 (\frac{2k}{3} OA + \frac{k}{3} OB) - OA = (\frac{4k}{3} - 1) OA + \frac{2k}{3} OB$

$s = \frac{4k}{3} - 1$ , $t = \frac{2k}{3}$

$s+t = \frac{4k}{3} - 1 + \frac{2k}{3} = \frac{6k}{3} - 1 = 2k - 1 = 1$

$2k = 2$ より $k = 1$

$\frac{OH}{OP} = k = 1$, よってス $OA \perp AQ$ である。

したがって $k = 1$ なので、セン $=1$。

$OQ = (\frac{4k}{3} - 1) OA + \frac{2k}{3} OB = \frac{1}{3} OA + \frac{2}{3} OB$

ツ=$\frac{1}{3}$ テ=$\frac{2}{3}$ ト=$3$ ナ=$3$

また、$AR = n AB$ とすると、$OR = OA + n AB = OA + n(OB - OA) = (1-n)OA + n OB$.

また、$R$ は直線 $OQ$ 上にあるので、$OR = m OQ = \frac{m}{3} OA + \frac{2m}{3} OB$。

係数比較して、$1-n = \frac{m}{3}$, $n = \frac{2m}{3}$.

$1 - \frac{2m}{3} = \frac{m}{3}$, $1 = \frac{3m}{3}$, $m = 1$.

$n = \frac{2}{3}$。

$OR = \frac{1}{3} OA + \frac{2}{3} OB$

ネ=$\frac{1}{3}$ ヌ=$\frac{2}{3}$

$PR = OR - OP = (\frac{1}{3} OA + \frac{2}{3} OB) - (\frac{2}{3} OA + \frac{1}{3} OB) = -\frac{1}{3} OA + \frac{1}{3} OB = \frac{1}{3} (OB - OA) = \frac{1}{3} AB$

$\frac{PR}{AB} = \frac{1}{3}$

ヒフ=$3$

3. 最終的な答え

ア=$\frac{2}{3}$, イ=$\frac{1}{3}$, ウ=$\frac{2}{3}$, オ=$\frac{1}{3}$, カ=$3$

ス=$OA \perp AQ$

セン=$1$, ツ=$\frac{1}{3}$, テ=$\frac{2}{3}$, ト=$3$, ナ=$3$, ネ=$\frac{1}{3}$, ヌ=$\frac{2}{3}$, ヒフ=$3$