円 $x^2 + y^2 = 5$ と、与えられたそれぞれの円について、位置関係を調べる問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と、与えられたそれぞれの円について、位置関係を調べる問題です。

2. 解き方の手順

2つの円の位置関係を調べるには、それぞれの円の中心間の距離 $d$ と、半径の和 $r_1 + r_2$、半径の差 $|r_1 - r_2|$ を比較します。

* $d > r_1 + r_2$: 互いに外部にある

* $d = r_1 + r_2$: 外接する

* $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$: 2点で交わる

* $d = |r_1 - r_2|$: 内接する

* $d < |r_1 - r_2|$: 一方が他方の内部にある

(1)

円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心は $(0, 0)$、半径は $\sqrt{5}$です。

円 $(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = 80$ の中心は $(3, 6)$、半径は $\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$です。

中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

半径の和 $r_1 + r_2$ は、

$r_1 + r_2 = \sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

半径の差 $|r_1 - r_2|$ は、

$|r_1 - r_2| = | \sqrt{5} - 4\sqrt{5} | = |-3\sqrt{5}| = 3\sqrt{5}$

$|r_1 - r_2| = 3\sqrt{5} = d < r_1 + r_2 = 5\sqrt{5}$ より、2点で交わる

(2)

円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心は $(0, 0)$、半径は $\sqrt{5}$です。

円 $(x + 4)^2 + (y + 8)^2 = 20$ の中心は $(-4, -8)$、半径は $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$です。

中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (-8 - 0)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

半径の和 $r_1 + r_2$ は、

$r_1 + r_2 = \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

半径の差 $|r_1 - r_2|$ は、

$|r_1 - r_2| = | \sqrt{5} - 2\sqrt{5} | = |- \sqrt{5}| = \sqrt{5}$

$d = 4\sqrt{5} > r_1 + r_2 = 3\sqrt{5}$ より、互いに外部にある

3. 最終的な答え

(1) 2点で交わる

(2) 互いに外部にある