長さが7の線分ABがあり、点Aはx軸上を、点Bはy軸上を動きます。線分ABを4:3に内分する点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

長さが7の線分ABがあり、点Aはx軸上を、点Bはy軸上を動きます。線分ABを4:3に内分する点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

点Aの座標を$(a, 0)$、点Bの座標を$(0, b)$とします。線分ABの長さが7であることから、ピタゴラスの定理より次の式が成り立ちます。

$a^2 + b^2 = 7^2 = 49$

点Pの座標を$(x, y)$とすると、点Pは線分ABを4:3に内分するので、内分点の公式より、

$x = \frac{3a + 4 \cdot 0}{4 + 3} = \frac{3a}{7}$

$y = \frac{3 \cdot 0 + 4b}{4 + 3} = \frac{4b}{7}$

これらの式から、$a$と$b$を$x$と$y$で表すと、

$a = \frac{7x}{3}$

$b = \frac{7y}{4}$

これらの式を$a^2 + b^2 = 49$に代入すると、

$(\frac{7x}{3})^2 + (\frac{7y}{4})^2 = 49$

$\frac{49x^2}{9} + \frac{49y^2}{16} = 49$

両辺を49で割ると、

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$

これは楕円の式です。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$