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与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。 行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix}$

代数学行列式線形代数行列式の性質
2025/5/26

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。
行列は以下の通りです。
$\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式の性質を利用して計算を簡略化します。
まず、与えられた行列式を以下のように分解します。
$\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a & a & z \\
b & b & z \\
c & c & z
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a & y & a \\
b & y & b \\
c & y & c
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a & y & z \\
b & y & z \\
c & y & z
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x & a & a \\
x & b & b \\
x & c & c
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x & a & z \\
x & b & z \\
x & c & z
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x & y & a \\
x & y & b \\
x & y & c
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x & y & z \\
x & y & z \\
x & y & z
\end{vmatrix}$
しかし、これは計算を複雑にするため別の方法を取ります。
各列を分解して計算します。
$\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a & a+y & a+z \\
b & b+y & b+z \\
c & c+y & c+z
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x & a+y & a+z \\
x & b+y & b+z \\
x & c+y & c+z
\end{vmatrix}$
$= \begin{vmatrix}
a & a & a+z \\
b & b & b+z \\
c & c & c+z
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a & y & a+z \\
b & y & b+z \\
c & y & c+z
\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}
x & a & a+z \\
x & b & b+z \\
x & c & c+z
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x & y & a+z \\
x & y & b+z \\
x & y & c+z
\end{vmatrix}$
$= \begin{vmatrix}
a & a & a \\
b & b & b \\
c & c & c
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a & a & z \\
b & b & z \\
c & c & z
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a & y & a \\
b & y & b \\
c & y & c
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a & y & z \\
b & y & z \\
c & y & z
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x & a & a \\
x & b & b \\
x & c & c
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x & a & z \\
x & b & z \\
x & c & z
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x & y & a \\
x & y & b \\
x & y & c
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
x & y & z \\
x & y & z \\
x & y & z
\end{vmatrix}$
いずれの行列式も、列が重複しているので、行列式の値は0になります。
$\begin{vmatrix}
a+x & a+y & a+z \\
b+x & b+y & b+z \\
c+x & c+y & c+z
\end{vmatrix} = 0$

3. 最終的な答え

0

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