$a$ を定数とする。関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲での最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲での最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 4ax - a = -(x^2 - 4ax) - a = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) - a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - a$

したがって、頂点の座標は $(2a, 4a^2 - a)$ である。

(1) 最大値を求める。

$x$ の定義域は $0 \le x \le 2$ である。軸 $x = 2a$ の位置によって場合分けを行う。

(i) $2a < 0$, すなわち $a < 0$ のとき、$x=0$ で最大値をとる。最大値は $y = -0^2 + 4a(0) - a = -a$。

(ii) $0 \le 2a \le 2$, すなわち $0 \le a \le 1$ のとき、$x=2a$ で最大値をとる。最大値は $y = 4a^2 - a$。

(iii) $2 < 2a$, すなわち $1 < a$ のとき、$x=2$ で最大値をとる。最大値は $y = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$。

したがって、

$a < 0$ のとき、最大値は $-a$

$0 \le a \le 1$ のとき、最大値は $4a^2 - a$

$1 < a$ のとき、最大値は $7a - 4$

(2) 最小値を求める。

(i) $2a < 1$, すなわち $a < \frac{1}{2}$ のとき、$x=2$ で最小値をとる。最小値は $y = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$。

(ii) $2a = 1$, すなわち $a = \frac{1}{2}$ のとき、$x=2$または$x=0$で最小値をとる。最小値は $7a-4 = 7/2 - 4 = -1/2$.

(iii) $1 < 2a < 2$, すなわち $\frac{1}{2} < a < 1$ のとき、$x=0$ で最小値をとる。最小値は $y = -0^2 + 4a(0) - a = -a$。

(iv) $2 \le 2a$, すなわち $1 \le a$ のとき、$x=0$ で最小値をとる。最小値は $y = -0^2 + 4a(0) - a = -a$。

したがって、

$a < \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $7a - 4$

$\frac{1}{2} \le a$ のとき、最小値は $-a$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$a < 0$ のとき、最大値は $-a$

$0 \le a \le 1$ のとき、最大値は $4a^2 - a$

$1 < a$ のとき、最大値は $7a - 4$

(2) 最小値

$a < \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $7a - 4$

$\frac{1}{2} \le a$ のとき、最小値は $-a$