不等式 $3x - 7 \geq x + a$ を満たす $x$ のうち、最小の整数が $3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $3x - 7 \geq x + a$ を満たす $x$ のうち、最小の整数が $3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を $x$ について解きます。

$3x - 7 \geq x + a$

$3x - x \geq a + 7$

$2x \geq a + 7$

$x \geq \frac{a + 7}{2}$

不等式を満たす最小の整数が $3$ であるということは、

$\frac{a+7}{2}$ は $2$ より大きく $3$ 以下である必要があります。

すなわち、不等式

$2 < \frac{a+7}{2} \leq 3$

が成り立ちます。

それぞれの辺に $2$ をかけると

$4 < a + 7 \leq 6$

となります。

すべての辺から $7$ を引くと

$4 - 7 < a + 7 - 7 \leq 6 - 7$

$-3 < a \leq -1$

となります。

3. 最終的な答え

$-3 < a \leq -1$