$(a - 2b + c)^5$ の展開式における $a^2bc^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(a - 2b + c)^5$ の展開式における $a^2bc^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を利用します。$(x_1 + x_2 + ... + x_m)^n$ の展開式における $x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$ の項の係数は、

$$\frac{n!}{k_1! k_2! ... k_m!}$$

ただし、$k_1 + k_2 + ... + k_m = n$

である。

今回の問題では、$(a - 2b + c)^5$ の展開式における $a^2bc^2$ の項の係数を求めるので、$a$の指数は2、$b$の指数は1、$c$の指数は2となります。よって、$n=5, k_1=2, k_2=1, k_3=2$ となります。

$a$ の係数は 1, $b$ の係数は -2, $c$ の係数は 1 であることを考慮すると、$a^2bc^2$の項は、

$$\frac{5!}{2!1!2!} \cdot a^2 \cdot (-2b)^1 \cdot c^2 = \frac{120}{2 \cdot 1 \cdot 2} \cdot a^2 \cdot (-2b) \cdot c^2 = 30 \cdot (-2) \cdot a^2bc^2 = -60a^2bc^2$$

したがって、係数は -60 である。

3. 最終的な答え

-60