不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x = 3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x = 3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $x$ について解きます。

$3(x-1) < 2(x+a)$

$3x - 3 < 2x + 2a$

$3x - 2x < 2a + 3$

$x < 2a + 3$

不等式を満たす最大の整数 $x$ が 3 であることから、次の不等式が成り立ちます。

$3 < 2a + 3 \le 4$

この不等式から $a$ の範囲を求めます。まず、$3 < 2a + 3$ より、

$3 - 3 < 2a$

$0 < 2a$

$0 < a$

次に、$2a + 3 \le 4$ より、

$2a \le 4 - 3$

$2a \le 1$

$a \le \frac{1}{2}$

したがって、$a$ の範囲は $0 < a \le \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < a \le \frac{1}{2}$