$\frac{1}{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}$ の分母を有理化する。

1. 問題の内容

$\frac{1}{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}}$ の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{7}$ と見て、$(2 + \sqrt{3}) + \sqrt{7}$ を分子と分母に掛けます。

\begin{align*}

\frac{1}{2 + \sqrt{3} - \sqrt{7}} &= \frac{1}{(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{7}} \\

&= \frac{(2 + \sqrt{3}) + \sqrt{7}}{((2 + \sqrt{3}) - \sqrt{7})((2 + \sqrt{3}) + \sqrt{7})} \\

&= \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}{(2 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2} \\

&= \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}{(4 + 4\sqrt{3} + 3) - 7} \\

&= \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}{7 + 4\sqrt{3} - 7} \\

&= \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}{4\sqrt{3}}

\end{align*}

次に、分母の $\sqrt{3}$ を有理化するために、$\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

\begin{align*}

\frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}{4\sqrt{3}} &= \frac{(2 + \sqrt{3} + \sqrt{7})\sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \\

&= \frac{2\sqrt{3} + 3 + \sqrt{21}}{4 \cdot 3} \\

&= \frac{3 + 2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{12}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{3 + 2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{12}$