a, b, x, y は実数とする。以下の4つの命題において、それぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを判断する。 (1) $ab \neq 0$ は $a \neq 0$ であるための( )条件。 (2) $x > 0$ は $x > 1$ であるための( )条件。 (3) $x > 0$ は $x + y > 0$ であるための( )条件。 (4) $a^2 - 6a + 9 = 0$ は $a = 3$ であるための( )条件。

1. 問題の内容

a, b, x, y は実数とする。以下の4つの命題において、それぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、またはそのいずれでもないかを判断する。

(1) $ab \neq 0$ は $a \neq 0$ であるための( )条件。

(2) $x > 0$ は $x > 1$ であるための( )条件。

(3) $x > 0$ は $x + y > 0$ であるための( )条件。

(4) $a^2 - 6a + 9 = 0$ は $a = 3$ であるための( )条件。

2. 解き方の手順

(1) $ab \neq 0$ ならば、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ である。したがって、$a \neq 0$ であることは真である。

一方、$a \neq 0$ であっても、$ab = 0$ となる場合がある（例えば、$b = 0$ の場合）。したがって、$ab \neq 0$ は $a \neq 0$ であるための十分条件である。

(2) $x > 0$ は $x > 1$ であるための条件を考える。

$x > 1$ ならば $x > 0$ は真である。

一方、$x > 0$ であっても、$x > 1$ とは限らない（例えば、$x = 0.5$ の場合）。

したがって、$x > 0$ は $x > 1$ であるための必要条件である。

(3) $x > 0$ は $x + y > 0$ であるための条件を考える。

$x > 0$ ならば、$x + y > 0$ とは限らない（例えば、$x = 1, y = -2$ の場合、$x + y = -1 < 0$）。

$x + y > 0$ ならば、$x > 0$ とも限らない（例えば、$x = -1, y = 2$ の場合、$x + y = 1 > 0$）。

したがって、$x > 0$ は $x + y > 0$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

(4) $a^2 - 6a + 9 = 0$ は $a = 3$ であるための条件を考える。

$a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2 = 0$ より、$a = 3$ である。

$a = 3$ ならば、$a^2 - 6a + 9 = 3^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$ である。

したがって、$a^2 - 6a + 9 = 0$ は $a = 3$ であるための必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) 十分

(2) 必要

(3) ×

(4) 必要十分