与えられた式 $x^3 + 3xy + y^3 - 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + 3xy + y^3 - 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与式を整理します。

$x^3 + y^3 - 1 + 3xy$

$x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3 \cdot x \cdot y \cdot (-1)$ と変形します。

ここで、因数分解の公式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を利用します。

$a = x, b = y, c = -1$ とすると、

$x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3xy(-1) = (x + y - 1)(x^2 + y^2 + (-1)^2 - xy - y(-1) - (-1)x)$

$= (x + y - 1)(x^2 + y^2 + 1 - xy + y + x)$

$= (x + y - 1)(x^2 + y^2 - xy + x + y + 1)$

3. 最終的な答え

$(x + y - 1)(x^2 + y^2 - xy + x + y + 1)$