方程式 $|2x| + |x-5| = 8$ を解け。

1. 問題の内容

方程式 $|2x| + |x-5| = 8$ を解け。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x < 0$ のとき

$|2x| = -2x$ かつ $|x-5| = -(x-5) = -x + 5$ となるので、方程式は

$-2x - x + 5 = 8$

$-3x = 3$

$x = -1$

これは $x < 0$ を満たすので、解の候補となります。

(ii) $0 \le x < 5$ のとき

$|2x| = 2x$ かつ $|x-5| = -(x-5) = -x + 5$ となるので、方程式は

$2x - x + 5 = 8$

$x = 3$

これは $0 \le x < 5$ を満たすので、解の候補となります。

(iii) $x \ge 5$ のとき

$|2x| = 2x$ かつ $|x-5| = x - 5$ となるので、方程式は

$2x + x - 5 = 8$

$3x = 13$

$x = \frac{13}{3}$

これは $x \ge 5$ を満たさない ($\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} < 5$ ) ので、解ではありません。

したがって、解は $x = -1$ と $x = 3$ です。

3. 最終的な答え

$x = -1, 3$