連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \geq 3 \end{cases}$ を解き、$x$の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \geq 3 \end{cases}$

を解き、$x$の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式 $(\sqrt{3}-2)x < -1$ を解きます。$\sqrt{3}-2 < 0$ なので、両辺を $(\sqrt{3}-2)$ で割ると不等号の向きが変わります。

$x > \frac{-1}{\sqrt{3}-2}$

分母を有理化するために、分母と分子に $(\sqrt{3}+2)$ をかけます。

$x > \frac{-1(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{-(\sqrt{3}+2)}{3-4} = \frac{-(\sqrt{3}+2)}{-1} = \sqrt{3}+2$

次に、二つ目の不等式 $|1-x| \geq 3$ を解きます。

絶対値の定義から、以下の二つの場合に分けます。

(i) $1-x \geq 3$ のとき

$-x \geq 2$

$x \leq -2$

(ii) $1-x \leq -3$ のとき

$-x \leq -4$

$x \geq 4$

したがって、$x \leq -2$ または $x \geq 4$ となります。

最後に、二つの不等式の解の共通範囲を求めます。

一つ目の不等式から $x > \sqrt{3}+2$ です。$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので、$\sqrt{3}+2 \approx 3.732$ です。

二つ目の不等式から $x \leq -2$ または $x \geq 4$ です。

$x > \sqrt{3}+2$ と $x \leq -2$ または $x \geq 4$ の共通範囲は、$x \geq 4$ です。なぜなら、$x > \sqrt{3}+2$ は $x > 3.732$ を意味し、$x \leq -2$ との共通範囲は存在しないからです。また、$x > 3.732$ と $x \geq 4$ の共通範囲は $x \geq 4$ となります。

3. 最終的な答え

$x \geq 4$