ある説明会で、参加者用に長いすを何脚か用意した。1つの長いすに4人で座ると29人が座れないことがわかった。そこで、1つの長いすに6人で座ることにしたところ、使わない長いすがちょうど2脚あった。この説明会の参加者の人数として考えられる値を全て求める。

1. 問題の内容

ある説明会で、参加者用に長いすを何脚か用意した。1つの長いすに4人で座ると29人が座れないことがわかった。そこで、1つの長いすに6人で座ることにしたところ、使わない長いすがちょうど2脚あった。この説明会の参加者の人数として考えられる値を全て求める。

2. 解き方の手順

長いすの数を $x$ 脚とする。参加者の人数を $N$ 人とする。

* 4人で座る場合、$N$ は $4x + 29$ で表される。

$N = 4x + 29$

* 6人で座る場合、使わない長いすが2脚あるので、$x-2$ 脚以下の長いすに人が座っている。

座っている長いすの数は、$x-2$ 脚かそれより少ないため、$x-2$ 脚に6人ずつ座る場合と、$x-3$ 脚に6人ずつ座り、残りの1脚に1人以上5人以下で座る場合を考える。

すなわち、最低でも $6(x-3)+1$ 人、最高でも $6(x-2)$ 人が座っている。

したがって、$6(x-3) + 1 \le N \le 6(x-2)$ が成り立つ。

$6(x-3)+1 \le N \le 6(x-2)$

$6x-18+1 \le N \le 6x-12$

$6x-17 \le N \le 6x-12$

$N = 4x + 29$ を代入する。

$6x-17 \le 4x+29 \le 6x-12$

左側の不等式:

$6x - 17 \le 4x + 29$

$2x \le 46$

$x \le 23$

右側の不等式:

$4x + 29 \le 6x - 12$

$41 \le 2x$

$20.5 \le x$

$x$ は整数なので、$21 \le x \le 23$

$x = 21$ のとき、$N = 4(21) + 29 = 84 + 29 = 113$

$x = 22$ のとき、$N = 4(22) + 29 = 88 + 29 = 117$

$x = 23$ のとき、$N = 4(23) + 29 = 92 + 29 = 121$

$x=21$のとき、$6(21-2) = 114$, $6(21-3)+1=109$より、$109 \le 113 \le 114$

$x=22$のとき、$6(22-2) = 120$, $6(22-3)+1=115$より、$115 \le 117 \le 120$

$x=23$のとき、$6(23-2) = 126$, $6(23-3)+1=121$より、$121 \le 121 \le 126$

3. 最終的な答え

113人, 117人, 121人