与えられた3つの連立1次方程式を解き、解をベクトル形式で表現します。

1. 問題の内容

与えられた3つの連立1次方程式を解き、解をベクトル形式で表現します。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた連立方程式は以下の通りです。

$4x + 3y = -2$

$8x + 6y = -4$

2番目の式は1番目の式を2倍したものであるため、この連立方程式は独立ではありません。したがって、解は一意に決まりません。

$4x + 3y = -2$ を満たす $x$ と $y$ を求めます。

$x$ をパラメータ $t$ とします。つまり、$x = t$ とします。

すると、$4t + 3y = -2$ となり、$3y = -4t - 2$ となります。

$y = -\frac{4}{3}t - \frac{2}{3}$

解はベクトル形式で以下のように表されます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ -\frac{4}{3}t - \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$

(2)

与えられた連立方程式は以下の通りです。

$\frac{4}{5}x - 5y = 29$

$2x - \frac{25}{2}y = 9$

1番目の式を$\frac{5}{2}$倍すると、$2x - \frac{25}{2}y = \frac{145}{2}$となります。

したがって、$2x - \frac{25}{2}y = 9$ と $2x - \frac{25}{2}y = \frac{145}{2}$を比較すると、左辺は同じですが、右辺が異なるため、この連立方程式は解を持ちません。

(3)

与えられた連立方程式は以下の通りです。

$4x + 3y = 2$

$3x + y = 4$

2番目の式を3倍すると、$9x + 3y = 12$ となります。

1番目の式からこの式を引くと、

$(4x + 3y) - (9x + 3y) = 2 - 12$

$-5x = -10$

$x = 2$

$3x + y = 4$ に $x = 2$ を代入すると、

$3(2) + y = 4$

$6 + y = 4$

$y = -2$

解はベクトル形式で以下のように表されます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$

(2) 解なし

(3) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$