放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を指定された方向に平行移動させて、原点を通るようにしたときの放物線の方程式を求める問題です。 (1) $y$軸方向への平行移動 (2) $x$軸方向への平行移動

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を指定された方向に平行移動させて、原点を通るようにしたときの放物線の方程式を求める問題です。

(1) $y$軸方向への平行移動

(2) $x$軸方向への平行移動

2. 解き方の手順

(1) $y$軸方向への平行移動の場合

$y$軸方向に$p$だけ平行移動すると、方程式は $y - p = x^2 - 4x + 3$となります。

書き換えると、$y = x^2 - 4x + 3 + p$となります。

この放物線が原点$(0, 0)$を通るためには、$x = 0$, $y = 0$を代入して、

$0 = 0^2 - 4(0) + 3 + p$

$0 = 3 + p$

$p = -3$

したがって、求める放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + 3 - 3$

$y = x^2 - 4x$

(2) $x$軸方向への平行移動の場合

$x$軸方向に$q$だけ平行移動すると、方程式は $y = (x - q)^2 - 4(x - q) + 3$となります。

この放物線が原点$(0, 0)$を通るためには、$x = 0$, $y = 0$を代入して、

$0 = (0 - q)^2 - 4(0 - q) + 3$

$0 = q^2 + 4q + 3$

$q^2 + 4q + 3 = 0$

$(q + 1)(q + 3) = 0$

$q = -1, -3$

したがって、

$q = -1$のとき、

$y = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3$

$y = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 3$

$y = x^2 - 2x$

$q = -3$のとき、

$y = (x + 3)^2 - 4(x + 3) + 3$

$y = x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 + 3$

$y = x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

(1) $y$軸方向への平行移動：$y = x^2 - 4x$

(2) $x$軸方向への平行移動：$y = x^2 - 2x$, $y = x^2 + 2x$