## 連立1次方程式を解く

## 連立1次方程式を解く

### (1) 問題の内容

以下の連立1次方程式を解き、解をベクトルで表します。

$$

\begin{cases}

2x + 5y + 10z = 1 \\

3x + 6y + 11z = 2 \\

x + 2y + 3z = 0

\end{cases}

$$

### (1) 解き方の手順

1. 第3式より $x = -2y - 3z$ を求めます。

2. これを第1式と第2式に代入します。

* 第1式: $2(-2y - 3z) + 5y + 10z = 1$ -> $y + 4z = 1$

* 第2式: $3(-2y - 3z) + 6y + 11z = 2$ -> $2z = 2$ -> $z = 1$

3. $z = 1$ を $y + 4z = 1$ に代入すると、$y + 4 = 1$ -> $y = -3$

4. $y = -3$ と $z = 1$ を $x = -2y - 3z$ に代入すると、$x = -2(-3) - 3(1) = 6 - 3 = 3$

### (1) 最終的な答え

解は $x = 3$, $y = -3$, $z = 1$ なので、ベクトルで表すと以下のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

3 \\ -3 \\ 1

\end{pmatrix}

$$

---

### (2) 問題の内容

以下の連立1次方程式を解き、解をベクトルで表します。

$$

\begin{cases}

-x - y + 2z = 1 \\

2x + 2y - 4z = -2 \\

4x + 4y - 8z = -4

\end{cases}

$$

### (2) 解き方の手順

1. 第2式を2で割ると、 $x+y-2z=-1$。これを $-1$ 倍すると、$-x-y+2z = 1$ となり、第1式と同じです。

2. 第3式を4で割ると、 $x+y-2z=-1$。これを $-1$ 倍すると、$-x-y+2z = 1$ となり、第1式と同じです。

3. つまり、3つの式はすべて同じ方程式を表しており、独立な方程式は1つしかありません。これは不定解を持つことを意味します。

4. 第1式より、$x = -y + 2z - 1$ とします。

5. $y = s$, $z = t$ （$s$, $t$ は任意の実数）とおくと、$x = -s + 2t - 1$ となります。

### (2) 最終的な答え

解は以下のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-1 \\ 0 \\ 0

\end{pmatrix}

+

s

\begin{pmatrix}

-1 \\ 1 \\ 0

\end{pmatrix}

+

t

\begin{pmatrix}

2 \\ 0 \\ 1

\end{pmatrix}

$$

ただし、$s$ と $t$ は任意の実数です。

---

### (3) 問題の内容

以下の連立1次方程式を解き、解をベクトルで表します。

$$

\begin{cases}

2x + y + z = 3 \\

x + y + 2z = 2 \\

5x + 3y + 4z = 8

\end{cases}

$$

### (3) 解き方の手順

1. 第1式から第2式を引くと、$x - z = 1$ より $x = z + 1$ となります。

2. $x = z + 1$ を第1式と第3式に代入します。

* 第1式: $2(z + 1) + y + z = 3$ -> $3z + y + 2 = 3$ -> $y + 3z = 1$

* 第3式: $5(z + 1) + 3y + 4z = 8$ -> $9z + 3y + 5 = 8$ -> $3y + 9z = 3$ -> $y + 3z = 1$

3. したがって、第1式と第3式から得られた式は同じ $y + 3z = 1$ となります。これは不定解を持つことを意味します。

4. $y = 1 - 3z$

5. $z = t$ （$t$ は任意の実数）とおくと、$y = 1 - 3t$ となります。

6. $x = z + 1$ より、$x = t + 1$ となります。

### (3) 最終的な答え

解は以下のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 \\ 1 \\ 0

\end{pmatrix}

+

t

\begin{pmatrix}

1 \\ -3 \\ 1

\end{pmatrix}

$$

ただし、$t$ は任意の実数です。

---

### (4) 問題の内容

以下の連立1次方程式を解き、解をベクトルで表します。

$$

\begin{cases}

x - y + z = 0 \\

x + y - 2z = -1 \\

3x - y = 1

\end{cases}

$$

### (4) 解き方の手順

1. 第1式と第2式を加えると、$2x - z = -1$ となり、$z = 2x + 1$ となります。

2. $z = 2x + 1$ を第1式に代入すると、$x - y + (2x + 1) = 0$ より、$3x - y + 1 = 0$ -> $y = 3x + 1$ となります。

3. $y = 3x + 1$ を第3式に代入すると、$3x - (3x + 1) = 1$ より、$-1 = 1$ となり、これは矛盾します。

### (4) 最終的な答え

解なし