$x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ という二次方程式 (*) について、以下の条件を満たす $a$ の値の範囲を求めます。 (ア) (*) が異なる2つの実数解をもつ (イ) (*) が正の解と負の解をもつ (ウ) (*) が異なる2つの正の解をもつ

1. 問題の内容

$x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ という二次方程式 (*) について、以下の条件を満たす $a$ の値の範囲を求めます。

(ア) (*) が異なる2つの実数解をもつ

(イ) (*) が正の解と負の解をもつ

(ウ) (*) が異なる2つの正の解をもつ

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とします。また、$f(x) = x^2 - 2ax + 3a - 2$ とおきます。

(ア) (*) が異なる2つの実数解をもつ条件は $D > 0$ です。

$D = (-2a)^2 - 4(3a - 2) = 4a^2 - 12a + 8 > 0$

$a^2 - 3a + 2 > 0$

$(a - 1)(a - 2) > 0$

よって、$a < 1$ または $a > 2$。

(イ) (*) が正の解と負の解をもつ条件は、$f(0) < 0$ です。これは解と係数の関係から、2つの解の積が負であることと同値です。

$f(0) = 3a - 2 < 0$

よって、$a < \frac{2}{3}$。

(ウ) (*) が異なる2つの正の解をもつ条件は、$D > 0$ かつ (2つの解の和) $> 0$ かつ (2つの解の積) $> 0$ です。

$D > 0$ は (ア) より $a < 1$ または $a > 2$ です。

解と係数の関係より、2つの解の和は $2a > 0$ より $a > 0$。

また、2つの解の積は $3a - 2 > 0$ より $a > \frac{2}{3}$。

したがって、$a < 1$ または $a > 2$、$a > 0$、$a > \frac{2}{3}$ をすべて満たす $a$ の範囲は、$\frac{2}{3} < a < 1$ または $a > 2$。

3. 最終的な答え

(ア) $a < 1$ または $a > 2$

(イ) $a < \frac{2}{3}$

(ウ) $\frac{2}{3} < a < 1$ または $a > 2$