$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$、$b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$、$b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \times \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}$

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}$

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4}$

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{5}$ の値について、$2 < \sqrt{5} < 3$ である。なぜなら、$2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2$ だからである。

よって、$\sqrt{5} \approx 2.236$ である。

したがって、$\sqrt{5}+2 \approx 2.236 + 2 = 4.236$ である。

したがって、$\sqrt{5}+2$ の整数部分は4であり、小数部分は $\sqrt{5}+2 - 4 = \sqrt{5} - 2$ である。

$a = 4$

$b = \sqrt{5}-2$

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = \sqrt{5} - 2$