底面が一辺 $x$ cmの正方形で、高さが $h$ cmの正四角錐Aがある。正四角錐Aの底面の正方形の各辺を2倍、高さを$\frac{1}{3}$倍にした正四角錐Bがある。正四角錐Aの体積は、正四角錐Bの体積の何倍か求めよ。

1. 問題の内容

底面が一辺 $x$ cmの正方形で、高さが $h$ cmの正四角錐Aがある。正四角錐Aの底面の正方形の各辺を2倍、高さを$\frac{1}{3}$倍にした正四角錐Bがある。正四角錐Aの体積は、正四角錐Bの体積の何倍か求めよ。

2. 解き方の手順

正四角錐の体積は、(底面積) × (高さ) × (1/3) で求められる。

正四角錐Aの体積を $V_A$、正四角錐Bの体積を $V_B$ とする。

正四角錐Aの底面積は $x^2$ であり、高さは $h$ であるから、

$V_A = \frac{1}{3} x^2 h$

正四角錐Bの底面の各辺の長さは $2x$ であり、高さは $\frac{1}{3}h$ である。

正四角錐Bの底面積は $(2x)^2 = 4x^2$ であり、高さは $\frac{1}{3}h$ であるから、

$V_B = \frac{1}{3} (4x^2) (\frac{1}{3}h) = \frac{4}{9} x^2 h$

求める倍率を $k$ とすると、$V_A = k V_B$ であるから、

$\frac{1}{3} x^2 h = k (\frac{4}{9} x^2 h)$

両辺を $x^2 h$ で割ると、

$\frac{1}{3} = k \frac{4}{9}$

$k = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$ 倍