原点からの距離が4で、ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$ に垂直な直線の式を求めます。

1. 問題の内容

原点からの距離が4で、ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$ に垂直な直線の式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられたベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$ に垂直な単位ベクトルを求めます。

ベクトル $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ に垂直なベクトルは $\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ または $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$ で与えられます。

したがって、$\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$ に垂直なベクトルの一つは $\begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$ です。

このベクトルの大きさを求めます。

$||\begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

したがって、単位ベクトルは $\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ です。

直線は原点からの距離が4であるため、直線の法線ベクトルを $\vec{n} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ とすると、直線の式は $-\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 4$ となります。

両辺を2倍すると、$-\sqrt{3}x + y = 8$ となります。

これを変形すると、$\sqrt{3}x - y + 8 = 0$ または $y = \sqrt{3}x + 8$となります。

$\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$ に垂直な単位ベクトルとして $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ を採用した場合、直線の式は $\frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y = 4$ となります。

両辺を2倍すると、$\sqrt{3}x - y = 8$ となり、これは $\sqrt{3}x - y - 8 = 0$ と表せます。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}x - y - 8 = 0$ または $\sqrt{3}x - y + 8 = 0$