中心 $C(\vec{c})$、半径 $r$ の円 $C$ 上の点 $P_0(\vec{p_0})$ における円の接線のベクトル方程式は $(\vec{p_0}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c}) = r^2$ であることを示す。

1. 問題の内容

中心 $C(\vec{c})$、半径 $r$ の円 $C$ 上の点 $P_0(\vec{p_0})$ における円の接線のベクトル方程式は $(\vec{p_0}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c}) = r^2$ であることを示す。

2. 解き方の手順

円 $C$ 上の点 $P_0(\vec{p_0})$ における接線を考える。この接線上の任意の点を $P(\vec{p})$ とする。

円の中心 $C(\vec{c})$ から接線上の点 $P(\vec{p})$ に向かうベクトル $\vec{CP} = \vec{p} - \vec{c}$ と、円の中心 $C(\vec{c})$ から接点 $P_0(\vec{p_0})$ に向かうベクトル $\vec{CP_0} = \vec{p_0} - \vec{c}$ は直交する。

2つのベクトルが直交するとき、その内積は0になるので、

$(\vec{p_0} - \vec{c})\cdot(\vec{p} - \vec{c}) = 0$ となる。

ここで、点 $P_0$ は円 $C$ 上の点であるから、$|\vec{p_0} - \vec{c}| = r$ が成り立つ。つまり、$(\vec{p_0} - \vec{c}) \cdot (\vec{p_0} - \vec{c}) = r^2$ が成り立つ。

次に、接線上の点 $P$ を $P_0$ に近づけていくと、$\vec{p}$ は $\vec{p_0}$ に近づく。そして、接線上の点 $P$ が $P_0$ と一致するとき、$\vec{p} = \vec{p_0}$ となるので、$(\vec{p_0} - \vec{c})\cdot(\vec{p_0} - \vec{c}) = r^2$ が成立する。

ベクトル $(\vec{p} - \vec{c})$ と $(\vec{p_0} - \vec{c})$ が直交するので、$(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p_0} - \vec{c}) = 0$ が成り立つ。

この式を展開すると、

$\vec{p} \cdot \vec{p_0} - \vec{p} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{p_0} + \vec{c} \cdot \vec{c} = 0$ となる。

また、$| \vec{p_0} - \vec{c} | = r$ なので、$(\vec{p_0} - \vec{c}) \cdot (\vec{p_0} - \vec{c}) = r^2$ となる。

$(\vec{p_0} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^2$ を展開すると、

$\vec{p_0} \cdot \vec{p} - \vec{p_0} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{p} + \vec{c} \cdot \vec{c} = r^2$ となる。

3. 最終的な答え

よって、円 $C$ 上の点 $P_0(\vec{p_0})$ における円の接線のベクトル方程式は $(\vec{p_0}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c}) = r^2$ である。