複素数平面上の点 $z$ が原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円周上を動くとき、複素数 $w = \frac{z-1}{z-i}$ で表される点 $w$ の描く図形を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円周上を動くとき、複素数 $w = \frac{z-1}{z-i}$ で表される点 $w$ の描く図形を求める。

2. 解き方の手順

まず、$w = \frac{z-1}{z-i}$ を $z$ について解く。

$w(z-i) = z-1$

$wz - wi = z - 1$

$wz - z = wi - 1$

$z(w-1) = wi - 1$

したがって、

$z = \frac{wi-1}{w-1}$

$z$ は原点を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円周上を動くので、$|z| = \sqrt{2}$ が成り立つ。

これを上の式に代入すると、

$\left|\frac{wi-1}{w-1}\right| = \sqrt{2}$

$|wi-1| = \sqrt{2} |w-1|$

ここで、$w = x+yi$ とおく（$x, y$ は実数）。すると、

$|i(x+yi)-1| = \sqrt{2} |(x+yi)-1|$

$|xi-y-1| = \sqrt{2} |x-1+yi|$

$|-y-1+xi| = \sqrt{2} |x-1+yi|$

$\sqrt{(-y-1)^2 + x^2} = \sqrt{2} \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$(y+1)^2 + x^2 = 2((x-1)^2 + y^2)$

$y^2+2y+1 + x^2 = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$y^2+2y+1 + x^2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2$

$0 = x^2 - 4x + y^2 - 2y + 1$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 4$

$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$

これは、中心 $(2, 1)$、半径 $2$ の円を表す。

ただし、$w = 1$ のとき、$z$ が存在しないので、$w=1$ となる点を除く。

3. 最終的な答え

中心 $2+i$、半径 $2$ の円。ただし、$w=1$（点 $1+0i$）を除く。