与えられた関数の最大値と最小値を指定された範囲内で求めます。具体的には、以下の6つの関数について、それぞれ定義された $x$ の範囲における最大値と最小値を求めます。 (1) $y=3x^2$ ($1 \le x \le 3$) (2) $y=-\frac{1}{2}x^2$ ($-2 \le x \le 1$) (3) $y=x^2-2x-3$ ($-2 \le x \le 5$) (4) $y=-2x^2-4x+1$ ($-1 \le x \le 1$) (5) $y=2x^2-3x+4$ ($-1 \le x \le 2$) (6) $y=-\frac{1}{2}x^2+2x$ ($-2 \le x \le 0$)

1. 問題の内容

与えられた関数の最大値と最小値を指定された範囲内で求めます。具体的には、以下の6つの関数について、それぞれ定義された $x$ の範囲における最大値と最小値を求めます。

(1) $y=3x^2$ ($1 \le x \le 3$)

(2) $y=-\frac{1}{2}x^2$ ($-2 \le x \le 1$)

(3) $y=x^2-2x-3$ ($-2 \le x \le 5$)

(4) $y=-2x^2-4x+1$ ($-1 \le x \le 1$)

(5) $y=2x^2-3x+4$ ($-1 \le x \le 2$)

(6) $y=-\frac{1}{2}x^2+2x$ ($-2 \le x \le 0$)

2. 解き方の手順

各関数について、最大値と最小値を求める手順は以下の通りです。

(1) $y=3x^2$ ($1 \le x \le 3$)

この関数は下に凸な放物線です。範囲内で $x$ が大きいほど $y$ の値も大きくなるので、$x=3$ で最大値、$x=1$ で最小値を取ります。

$x=1$ のとき $y=3(1)^2=3$

$x=3$ のとき $y=3(3)^2=27$

(2) $y=-\frac{1}{2}x^2$ ($-2 \le x \le 1$)

この関数は上に凸な放物線です。$x=0$ で最大値を取り、範囲の端点で最小値の候補を探します。

$x=0$ のとき $y=-\frac{1}{2}(0)^2=0$

$x=-2$ のとき $y=-\frac{1}{2}(-2)^2=-2$

$x=1$ のとき $y=-\frac{1}{2}(1)^2=-\frac{1}{2}$

(3) $y=x^2-2x-3$ ($-2 \le x \le 5$)

平方完成すると $y=(x-1)^2-4$ となります。これは下に凸な放物線で、頂点は $(1, -4)$ です。範囲内で頂点を含むので、$x=1$ で最小値を取ります。最大値は範囲の端点で候補を探します。

$x=1$ のとき $y=(1)^2-2(1)-3 = -4$

$x=-2$ のとき $y=(-2)^2-2(-2)-3 = 4+4-3=5$

$x=5$ のとき $y=(5)^2-2(5)-3 = 25-10-3=12$

(4) $y=-2x^2-4x+1$ ($-1 \le x \le 1$)

平方完成すると $y=-2(x+1)^2+3$ となります。これは上に凸な放物線で、頂点は $(-1, 3)$ です。範囲内で頂点を含むので、$x=-1$ で最大値を取ります。最小値は範囲の端点で候補を探します。

$x=-1$ のとき $y=-2(-1)^2-4(-1)+1 = -2+4+1=3$

$x=1$ のとき $y=-2(1)^2-4(1)+1 = -2-4+1=-5$

(5) $y=2x^2-3x+4$ ($-1 \le x \le 2$)

平方完成すると $y=2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{23}{8}$ となります。これは下に凸な放物線で、頂点は $(\frac{3}{4}, \frac{23}{8})$ です。範囲内で頂点を含むので、$x=\frac{3}{4}$ で最小値を取ります。最大値は範囲の端点で候補を探します。

$x=\frac{3}{4}$ のとき $y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+4=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+4=\frac{9-18+32}{8}=\frac{23}{8}$

$x=-1$ のとき $y=2(-1)^2-3(-1)+4 = 2+3+4=9$

$x=2$ のとき $y=2(2)^2-3(2)+4 = 8-6+4=6$

(6) $y=-\frac{1}{2}x^2+2x$ ($-2 \le x \le 0$)

平方完成すると $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+2$ となります。これは上に凸な放物線で、頂点は $(2, 2)$ です。範囲内で頂点を含まないので、最大値は範囲の端点で候補を探します。また、最小値も範囲の端点です。

$x=-2$ のとき $y=-\frac{1}{2}(-2)^2+2(-2) = -2-4=-6$

$x=0$ のとき $y=-\frac{1}{2}(0)^2+2(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 27 ($x=3$), 最小値: 3 ($x=1$)

(2) 最大値: 0 ($x=0$), 最小値: -2 ($x=-2$)

(3) 最大値: 12 ($x=5$), 最小値: -4 ($x=1$)

(4) 最大値: 3 ($x=-1$), 最小値: -5 ($x=1$)

(5) 最大値: 9 ($x=-1$), 最小値: $\frac{23}{8}$ ($x=\frac{3}{4}$)

(6) 最大値: 0 ($x=0$), 最小値: -6 ($x=-2$)