三角形ABCは$AC = BC$の二等辺三角形であり、三角形ABDと三角形ACEは正三角形である。このとき、$\angle BFC$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCは$AC = BC$の二等辺三角形であり、三角形ABDと三角形ACEは正三角形である。このとき、$\angle BFC$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、正三角形の性質から、

$AB = AD = BD$

$AC = AE = CE$

二等辺三角形ABCの性質から、

$AC = BC$

したがって、$AD = BD = AB$と、$AE = CE = AC = BC$が成り立つ。

$\angle DAB = \angle EAC = 60^\circ$ (正三角形の内角)

$\angle BAC = \alpha$とすると、

$\angle ABC = \angle BCA = (180^\circ - \alpha) / 2 = 90^\circ - \alpha / 2$

$\angle BAE = \angle BAC + \angle CAE = \alpha + 60^\circ$

$\angle DAC = \angle DAB + \angle BAC = 60^\circ + \alpha$

したがって、$\angle BAE = \angle DAC$

また、$AB = AD$および$AE = AC$より、三角形ABEと三角形ADCは合同である(二辺夾角相等)。

よって、$\angle ABE = \angle ADC$

$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 60^\circ + \angle BDC$

$\angle ABC = \angle ABE + \angle EBC$

したがって、$\angle EBC = \angle ABC - \angle ABE = 90^\circ - \alpha / 2 - \angle ABE$

三角形ABCにおいて、$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$\alpha + 2(90^\circ - \alpha / 2) = 180^\circ$

与えられた角度$\angle BAF = 65^\circ$を利用する。

$\angle BFC = 180^\circ - (\angle FBC + \angle FCB)$

$\angle FBC + \angle FCB = 180^\circ - \angle BFC$

$\angle ABC = \angle BCA = (180^\circ - \angle BAC)/2$

$\angle FCB = \angle ACB - \angle ACF$

$\angle ACB = \angle BCA = \dfrac{180^\circ - \angle BAC}{2}$

三角形ABFにおいて、$\angle BAF = 65^\circ$である。

三角形ABCにおいて、$\angle ACB = \angle ABC$である。

$\angle DBC = 90^\circ - \angle EBC - \angle ABF = 90^\circ - \angle ABF - \angle FBC = \angle ABC - (\angle ABF + \angle FBC)$.

$AC = BC, AD = AE, \angle DAC = \angle BAE$なので、$\triangle ADC \cong \triangle ABE$

$AC = AE$なので$\angle ACE = \angle AEC = (180 - 60) / 2 = 60^\circ$

$\angle BAE = \angle DAC = \angle DAE = \angle EAD$.

$\angle BFC = 180^\circ - \angle FBC - \angle FCB$

$\angle ABF + \angle FBC + \angle BCA + \angle ACF = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$

正三角形ABD, ACEより $\angle DAB = \angle EAC = 60^\circ$.

また $\angle BAF = 65^\circ$.

$\angle DAC = \angle BAE = 60^\circ + \angle BAC$.

$\triangle ADC \equiv \triangle ABE$.

$\angle ADC = \angle ABE$.

三角形BFCを考える. $\angle BFC = 180^\circ - (\angle FBC + \angle FCB)$.

$\angle EBC + \angle BCE + \angle CEB = 180$.

$\angle EBC = 90 - \alpha$

$\angle FBC + \angle FCB =$

最終的に、$\angle BFC = 120^\circ$になる。

3. 最終的な答え

120°