## 問題の概要

## 問題の概要

与えられた画像に記載された以下の問題を解きます。

1. 基数変換

2. ブール代数の真理値表の完成

3. ブール代数の真理値表を満たす論理式の特定

4. 論理式の等価性の判定

5. 真理値表から論理式を導出（積和標準形）とその簡略化

## 解き方の手順

### 問1: 基数変換

* (ア) $(25)_{10} = (?)_{2}$

25を2で繰り返し割る。余りを逆順に並べる。

$25 \div 2 = 12 余り 1$

$12 \div 2 = 6 余り 0$

$6 \div 2 = 3 余り 0$

$3 \div 2 = 1 余り 1$

$1 \div 2 = 0 余り 1$

よって、$(25)_{10} = (11001)_{2}$

* (イ) $(527)_{10} = (?)_{2}$

527を2で繰り返し割る。余りを逆順に並べる。

$527 \div 2 = 263 余り 1$

$263 \div 2 = 131 余り 1$

$131 \div 2 = 65 余り 1$

$65 \div 2 = 32 余り 1$

$32 \div 2 = 16 余り 0$

$16 \div 2 = 8 余り 0$

$8 \div 2 = 4 余り 0$

$4 \div 2 = 2 余り 0$

$2 \div 2 = 1 余り 0$

$1 \div 2 = 0 余り 1$

よって、$(527)_{10} = (1000001111)_{2}$

* (ウ) $(0.5)_{10} = (?)_{2}$

0. 5を2で繰り返し掛ける。整数部分を順に並べる。

$0.5 \times 2 = 1.0$

よって、$(0.5)_{10} = (0.1)_{2}$

* (エ) $(3.75)_{10} = (?)_{2}$

整数部と小数部を分けて考える。

$3 \div 2 = 1 余り 1$

$1 \div 2 = 0 余り 1$

よって、$(3)_{10} = (11)_{2}$

$0.75 \times 2 = 1.5$

$0.5 \times 2 = 1.0$

よって、$(0.75)_{10} = (0.11)_{2}$

したがって、$(3.75)_{10} = (11.11)_{2}$

* (オ) $(1001)_{2} = (?)_{10}$

$1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9$

よって、$(1001)_{2} = (9)_{10}$

* (カ) $(1001011)_{2} = (?)_{10}$

$1 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 75$

よって、$(1001011)_{2} = (75)_{10}$

* (キ) $(0.111)_{2} = (?)_{10}$

$1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} = 0.5 + 0.25 + 0.125 = 0.875$

よって、$(0.111)_{2} = (0.875)_{10}$

* (ク) $(0.001001)_{2} = (?)_{10}$

$1 \times 2^{-3} + 0 \times 2^{-4} + 0 \times 2^{-5} + 1 \times 2^{-6} = 0.125 + 0 + 0 + 0.015625 = 0.140625$

よって、$(0.001001)_{2} = (0.140625)_{10}$

### 問2: ブール代数の真理値表の完成

* $\overline{x} + y$: xの否定とyの論理和

| x | y | $\overline{x}$ | $\overline{x} + y$ |

|---|---|---|---|

| 0 | 0 | 1 | 1 |

| 0 | 1 | 1 | 1 |

| 1 | 0 | 0 | 0 |

| 1 | 1 | 0 | 1 |

* $x \cdot \overline{y}$: xとyの否定の論理積

| x | y | $\overline{y}$ | $x \cdot \overline{y}$ |

|---|---|---|---|

| 0 | 0 | 1 | 0 |

| 0 | 1 | 0 | 0 |

| 1 | 0 | 1 | 1 |

| 1 | 1 | 0 | 0 |

* $y + x \cdot \overline{y}$: yとxとyの否定の論理積の論理和

| x | y | $\overline{y}$ | $x \cdot \overline{y}$ | $y + x \cdot \overline{y}$ |

|---|---|---|---|---|

| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |

| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |

| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |

| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |

* $x \oplus y$: xとyの排他的論理和

| x | y | $x \oplus y$ |

|---|---|---|

| 0 | 0 | 0 |

| 0 | 1 | 1 |

| 1 | 0 | 1 |

| 1 | 1 | 0 |

### 問3: ブール代数の真理値表を満たす論理式の特定

* (a) x=0の時1, x=1の時0となるので$\overline{x}$

* (b) yの値と同じなので$y$

* (c) $x \oplus y$

### 問4: 論理式の等価性の判定

与えられた論理式: $x \cdot z + \overline{x} \cdot y \cdot z + x \cdot \overline{z}$

(a) $x + y + z$: 等価ではない。

(b) $x \cdot y \cdot z$: 等価ではない。

(c) $\overline{x} + y \cdot z$: 等価ではない。

(d) $x + y \cdot z$: 等価ではない。

(e) $x + \overline{x} \cdot y \cdot z$: 等価ではない。

(f) $\overline{x} + z$: 等価ではない。

真理値表を作成して比較検討する。

| x | y | z | $x \cdot z$ | $\overline{x} \cdot y \cdot z$ | $x \cdot \overline{z}$ | 与えられた論理式 |

|---|---|---|---|---|---|---|

| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |

| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |

| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |

| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |

| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |

| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |

(a) $x + y + z$:

| x | y | z | $x + y + z$ |

|---|---|---|---|

| 0 | 0 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 | 1 |

| 0 | 1 | 0 | 1 |

| 0 | 1 | 1 | 1 |

| 1 | 0 | 0 | 1 |

| 1 | 0 | 1 | 1 |

| 1 | 1 | 0 | 1 |

| 1 | 1 | 1 | 1 |

与えられた式と(a)は等価ではない。

(g) 等価な論理式はない

### 問5: 真理値表から論理式を導出

(1) 論理式Lを積和標準形 (主加法標準形) で表す。

L=1となる行を探す。

$L(x, y, z) = \overline{x} \cdot \overline{y} \cdot \overline{z} + \overline{x} \cdot y \cdot \overline{z} + x \cdot \overline{y} \cdot z + x \cdot y \cdot z$

(2) 論理式Lを簡単化する。

$L = \overline{x} \cdot \overline{z} (\overline{y} + y) + x \cdot z (\overline{y} + y)$

$= \overline{x} \cdot \overline{z} + x \cdot z$

## 最終的な答え

### 問1

* (ア) $(11001)_{2}$

* (イ) $(1000001111)_{2}$

* (ウ) $(0.1)_{2}$

* (エ) $(11.11)_{2}$

* (オ) $(9)_{10}$

* (カ) $(75)_{10}$

* (キ) $(0.875)_{10}$

* (ク) $(0.140625)_{10}$

### 問2

* $\overline{x} + y$: 1, 1, 0, 1

* $x \cdot \overline{y}$: 0, 0, 1, 0

* $y + x \cdot \overline{y}$: 0, 1, 1, 1

* $x \oplus y$: 0, 1, 1, 0

### 問3

* (a) $\overline{x}$

* (b) $y$

* (c) $x \oplus y$

### 問4

* (g) 等価な論理式はない

### 問5

* (1) $L(x, y, z) = \overline{x} \cdot \overline{y} \cdot \overline{z} + \overline{x} \cdot y \cdot \overline{z} + x \cdot \overline{y} \cdot z + x \cdot y \cdot z$

* (2) $L = \overline{x} \cdot \overline{z} + x \cdot z$