ばね定数 $k = 49 \text{ N/m}$ のばねの一端を固定し、自然長より $x = 0.20 \text{ m}$ 縮めて質量 $m = 0.40 \text{ kg}$ の物体を置く。手を放したとき、物体がなめらかな斜面を何メートル上がるかを求める。重力加速度の大きさは $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ とする。

1. 問題の内容

ばね定数 $k = 49 \text{ N/m}$ のばねの一端を固定し、自然長より $x = 0.20 \text{ m}$ 縮めて質量 $m = 0.40 \text{ kg}$ の物体を置く。手を放したとき、物体がなめらかな斜面を何メートル上がるかを求める。重力加速度の大きさは $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ とする。

2. 解き方の手順

この問題は、ばねの弾性エネルギーが物体の位置エネルギーに変換されることを利用して解きます。

ステップ1: ばねの弾性エネルギーを計算する。

ばねの弾性エネルギー $U$ は、ばね定数 $k$ と縮み $x$ を用いて、

$U = \frac{1}{2}kx^2$

と表されます。与えられた値を代入すると、

$U = \frac{1}{2} (49 \text{ N/m}) (0.20 \text{ m})^2 = \frac{1}{2} \times 49 \times 0.04 = 0.98 \text{ J}$

となります。

ステップ2: 物体の位置エネルギーを計算する。

物体が高さ $h$ まで上がったときの位置エネルギー $V$ は、

$V = mgh$

と表されます。

ステップ3: エネルギー保存則を適用する。

ばねの弾性エネルギーが全て物体の位置エネルギーに変換されると考えると、

$U = V$

が成り立ちます。したがって、

$0.98 \text{ J} = (0.40 \text{ kg}) (9.8 \text{ m/s}^2) h$

となります。

ステップ4: 高さ $h$ を計算する。

上記の式から $h$ を求めます。

$h = \frac{0.98}{(0.40)(9.8)} = \frac{0.98}{3.92} = 0.25 \text{ m}$

となります。

3. 最終的な答え

物体が上がる高さは $0.25 \text{ m}$ です。