水素分子 $H_2$ について、以下の3つの量を求めます。 (i) $20^\circ C$ に保たれている状態の水素分子の平均速度 (ii) 定積比熱 $c_v$ (iii) 定圧比熱 $c_p$ ただし、水素原子の原子量は 1.0、一般気体定数 $R_0 = 8.314 \ [J/mol \cdot K]$、アボガドロ数 $N_A = 6.022 \times 10^{23}$、絶対零度は摂氏 $-273^\circ C$とします。

1. 問題の内容

水素分子 $H_2$ について、以下の3つの量を求めます。

(i) $20^\circ C$ に保たれている状態の水素分子の平均速度

(ii) 定積比熱 $c_v$

(iii) 定圧比熱 $c_p$

ただし、水素原子の原子量は 1.0、一般気体定数 $R_0 = 8.314 \ [J/mol \cdot K]$、アボガドロ数 $N_A = 6.022 \times 10^{23}$、絶対零度は摂氏 $-273^\circ C$とします。

2. 解き方の手順

(i) 平均速度の計算

水素分子のモル質量 $M$ は、水素原子の原子量が 1.0 であるから、 $M = 2.0 \times 10^{-3} \ [kg/mol]$ です。

温度 $T$ を絶対温度で表すと、 $T = 20 + 273 = 293 \ [K]$ となります。

分子の平均速度 $v$ は、次の式で与えられます。

$v = \sqrt{\frac{3 R_0 T}{M}}$

ここに、

$R_0 = 8.314 \ [J/mol \cdot K]$

$T = 293 \ [K]$

$M = 2.0 \times 10^{-3} \ [kg/mol]$

を代入すると、

$v = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 293}{2.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{3654531} = 1911.68 \ [m/s]$

(ii) 定積比熱の計算

水素分子は二原子分子なので、自由度は5です。

定積比熱 $c_v$ は、次の式で与えられます。

$c_v = \frac{f}{2} R_0$

ここで、$f$ は自由度を表します。水素分子の場合、$f=5$ なので、

$c_v = \frac{5}{2} R_0 = \frac{5}{2} \times 8.314 = 20.785 \ [J/mol \cdot K]$

(iii) 定圧比熱の計算

定圧比熱 $c_p$ は、次の式で与えられます。

$c_p = c_v + R_0$

$c_v = 20.785 \ [J/mol \cdot K]$ と $R_0 = 8.314 \ [J/mol \cdot K]$ を代入すると、

$c_p = 20.785 + 8.314 = 29.099 \ [J/mol \cdot K]$

3. 最終的な答え

(i) 平均速度: 1911.68 m/s

(ii) 定積比熱: 20.785 J/mol・K

(iii) 定圧比熱: 29.099 J/mol・K