室温における銅の抵抗率 $\rho = 1.7 \times 10^{-8} [\Omega \cdot \text{m}]$、電子密度 $n = 8.5 \times 10^{28} [\text{m}^{-3}]$ であるとき、電子の移動度 $\mu [\text{cm}^2/\text{Vs}]$、緩和時間 $\tau [\text{s}]$、および電界 $1.0 [\text{V/cm}]$ が印加された場合の電子のドリフト速度 $v_d [\text{m/s}]$ を求める。電子の有効質量は $m_e^* = 9.1 \times 10^{-31} [\text{kg}]$ とする。

1. 問題の内容

室温における銅の抵抗率 $\rho = 1.7 \times 10^{-8} [\Omega \cdot \text{m}]$、電子密度 $n = 8.5 \times 10^{28} [\text{m}^{-3}]$ であるとき、電子の移動度 $\mu [\text{cm}^2/\text{Vs}]$、緩和時間 $\tau [\text{s}]$、および電界 $1.0 [\text{V/cm}]$ が印加された場合の電子のドリフト速度 $v_d [\text{m/s}]$ を求める。電子の有効質量は $m_e^* = 9.1 \times 10^{-31} [\text{kg}]$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 電子の移動度 $\mu$ を求める。

抵抗率 $\rho$ は、電荷素量 $e$、電子密度 $n$、電子の移動度 $\mu$ を用いて、以下のように表される。

$\rho = \frac{1}{ne\mu}$

この式から、電子の移動度 $\mu$ は以下のように求められる。

$\mu = \frac{1}{ne\rho}$

ここで、$e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$、$n = 8.5 \times 10^{28} \text{ m}^{-3}$、$\rho = 1.7 \times 10^{-8} \Omega \cdot \text{m}$ を代入すると、

$\mu = \frac{1}{(8.5 \times 10^{28} \text{ m}^{-3})(1.602 \times 10^{-19} \text{ C})(1.7 \times 10^{-8} \Omega \cdot \text{m})} = 4.317 \times 10^{-3} \text{ m}^2/\text{Vs}$

問題では、$\text{cm}^2/\text{Vs}$ 単位で移動度を求められているため、単位を変換する。

$1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$ なので、$1 \text{ m}^2 = (100 \text{ cm})^2 = 10^4 \text{ cm}^2$ である。

$\mu = 4.317 \times 10^{-3} \text{ m}^2/\text{Vs} = 4.317 \times 10^{-3} \times 10^4 \text{ cm}^2/\text{Vs} = 43.17 \text{ cm}^2/\text{Vs}$

(2) 緩和時間 $\tau$ を求める。

電子の移動度 $\mu$ は、電荷素量 $e$、緩和時間 $\tau$、電子の有効質量 $m_e^*$ を用いて、以下のように表される。

$\mu = \frac{e\tau}{m_e^*}$

この式から、緩和時間 $\tau$ は以下のように求められる。

$\tau = \frac{\mu m_e^*}{e}$

ここで、$\mu = 4.317 \times 10^{-3} \text{ m}^2/\text{Vs}$、$m_e^* = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$、$e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ を代入すると、

$\tau = \frac{(4.317 \times 10^{-3} \text{ m}^2/\text{Vs})(9.1 \times 10^{-31} \text{ kg})}{1.602 \times 10^{-19} \text{ C}} = 2.452 \times 10^{-14} \text{ s}$

(3) ドリフト速度 $v_d$ を求める。

ドリフト速度 $v_d$ は、電子の移動度 $\mu$ と電界 $E$ を用いて、以下のように表される。

$v_d = \mu E$

ここで、$E = 1.0 \text{ V/cm} = 1.0 \times 10^2 \text{ V/m}$、$\mu = 4.317 \times 10^{-3} \text{ m}^2/\text{Vs}$ を代入すると、

$v_d = (4.317 \times 10^{-3} \text{ m}^2/\text{Vs})(1.0 \times 10^2 \text{ V/m}) = 0.4317 \text{ m/s}$

3. 最終的な答え

電子の移動度 $\mu = 43.17 \text{ cm}^2/\text{Vs}$

緩和時間 $\tau = 2.45 \times 10^{-14} \text{ s}$

電子のドリフト速度 $v_d = 0.432 \text{ m/s}$