直方体ABCD-EFGHにおいて、ベクトル$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{AD}=\vec{d}$、$\overrightarrow{AE}=\vec{e}$とする。 (1) ベクトル$\overrightarrow{BH}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$で表す。 (2) 線分BHを1:2に内分する点をPとするとき、ベクトル$\overrightarrow{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$で表す。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、ベクトル$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{AD}=\vec{d}$、$\overrightarrow{AE}=\vec{e}$とする。

(1) ベクトル$\overrightarrow{BH}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$で表す。

(2) 線分BHを1:2に内分する点をPとするとき、ベクトル$\overrightarrow{AP}$を$\vec{b}, \vec{d}, \vec{e}$で表す。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{BH}$を求める。

$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH}$

$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{b}$

$\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE} = \vec{e}$

よって、

$\overrightarrow{BH} = -\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}$

(2) $\overrightarrow{AP}$を求める。点Pは線分BHを1:2に内分するので、内分点の公式より

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP}$

$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BH}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BH}$

$\overrightarrow{AP} = \vec{b} + \frac{1}{3}(-\vec{b} + \vec{d} + \vec{e})$

$\overrightarrow{AP} = \vec{b} - \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{3}\vec{e}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{3}\vec{e}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{BH} = -\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}$

(2) $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{3}\vec{e}$