問題12-1：$\triangle ABC$ において、$AB=9$, $AC=6$, $\angle BAC = 60^\circ$ とする。辺 $AB$, 辺 $CA$ を $2:1$ に内分する点をそれぞれ $M, N$ とするとき、線分 $MN$ の長さを求めよ。 問題12-2：1辺の長さが4である正四面体 $ABCD$ がある。辺 $AB$ の中点を $M$ とするとき、$\cos \angle CMD$ を求めよ。 問題12-3：右の図のような $\triangle ABC$ において、直線 $BC$ を軸として1回転してできる立体の体積を求めよ。ただし、図は提供されていません。

1. 問題の内容

問題12-1：$\triangle ABC$ において、$AB=9$, $AC=6$, $\angle BAC = 60^\circ$ とする。辺 $AB$, 辺 $CA$ を $2:1$ に内分する点をそれぞれ $M, N$ とするとき、線分 $MN$ の長さを求めよ。

問題12-2：1辺の長さが4である正四面体 $ABCD$ がある。辺 $AB$ の中点を $M$ とするとき、$\cos \angle CMD$ を求めよ。

問題12-3：右の図のような $\triangle ABC$ において、直線 $BC$ を軸として1回転してできる立体の体積を求めよ。ただし、図は提供されていません。

2. 解き方の手順

問題12-1：

余弦定理を用いて $BC$ の長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$BC^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ$

$BC^2 = 81 + 36 - 108 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 117 - 54 = 63$

$BC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$

$AM = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$

$AN = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$

余弦定理を用いて $MN$ の長さを求める。

$MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2AM \cdot AN \cdot \cos \angle MAN$

$MN^2 = 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ$

$MN^2 = 36 + 4 - 24 \cdot \frac{1}{2}$

$MN^2 = 40 - 12 = 28$

$MN = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

問題12-2：

$AC = AD = BC = BD = CD = AB = 4$

$AM = MB = 2$

$\triangle AMC \equiv \triangle AMD$

$MC = MD$

$\triangle MBC \equiv \triangle MBD$

$MC = MD = \sqrt{AC^2 - AM^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$CD = 4$

余弦定理を用いて $\cos \angle CMD$ を求める。

$CD^2 = MC^2 + MD^2 - 2MC \cdot MD \cdot \cos \angle CMD$

$4^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos \angle CMD$

$16 = 12 + 12 - 2 \cdot 12 \cdot \cos \angle CMD$

$16 = 24 - 24 \cos \angle CMD$

$24 \cos \angle CMD = 24 - 16 = 8$

$\cos \angle CMD = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

問題12-3：

図がないため解けません。

3. 最終的な答え

問題12-1: $MN = 2\sqrt{7}$

問題12-2: $\cos \angle CMD = \frac{1}{3}$

問題12-3: 図がないため解けません。