与えられた二階線形非同次微分方程式 $$\frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \sin(2t)$$ の解 $x(t)$ を、初期条件 $t=0$ で $x=0$、$\frac{dx}{dt}=v_0$ の下で求め、その解が $$x(t) = \frac{v_0 + B}{\sqrt{A}} \sin(\sqrt{C}t) + D \sin(Et)$$ の形で与えられるときの、$A, B, C, D, E$ に当てはまる整数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二階線形非同次微分方程式

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \sin(2t)$$

の解 $x(t)$ を、初期条件 $t=0$ で $x=0$、$\frac{dx}{dt}=v_0$ の下で求め、その解が

$$x(t) = \frac{v_0 + B}{\sqrt{A}} \sin(\sqrt{C}t) + D \sin(Et)$$

の形で与えられるときの、$A, B, C, D, E$ に当てはまる整数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 同次方程式の解を求める:

まず、同次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -3x$ の一般解を求めます。

これは $\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = 0$ と書き換えられます。

特性方程式は $\lambda^2 + 3 = 0$ であり、$\lambda = \pm i\sqrt{3}$ となります。

したがって、同次方程式の一般解は $x_h(t) = c_1 \cos(\sqrt{3}t) + c_2 \sin(\sqrt{3}t)$ となります。

(2) 非同次方程式の特殊解を求める:

非同次項が $\sin(2t)$ なので、特殊解を $x_p(t) = A \sin(2t)$ と仮定します。

$\frac{dx_p}{dt} = 2A \cos(2t)$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -4A \sin(2t)$

これを元の微分方程式に代入すると、

$-4A \sin(2t) = -3A \sin(2t) + \sin(2t)$

$-4A = -3A + 1$

$-A = 1$

$A = -1$

よって、特殊解は $x_p(t) = -\sin(2t)$ となります。問題文の与えられた形式とあわせるために $x_p(t) = D\sin(Et)$とおくと，$D=-1$、$E=2$となります。

(3) 一般解を求める:

一般解は同次方程式の解と特殊解の和なので、

$x(t) = c_1 \cos(\sqrt{3}t) + c_2 \sin(\sqrt{3}t) - \sin(2t)$

(4) 初期条件を適用する:

$x(0) = 0$ より、

$0 = c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0) - \sin(0) = c_1$

よって、$c_1 = 0$ なので、 $x(t) = c_2 \sin(\sqrt{3}t) - \sin(2t)$

次に、$\frac{dx}{dt} = v_0$ を適用します。

$\frac{dx}{dt} = c_2 \sqrt{3} \cos(\sqrt{3}t) - 2\cos(2t)$

$t = 0$ のとき $\frac{dx}{dt} = v_0$ なので、

$v_0 = c_2 \sqrt{3} \cos(0) - 2 \cos(0) = c_2 \sqrt{3} - 2$

$c_2 \sqrt{3} = v_0 + 2$

$c_2 = \frac{v_0 + 2}{\sqrt{3}}$

したがって、解は $x(t) = \frac{v_0 + 2}{\sqrt{3}} \sin(\sqrt{3}t) - \sin(2t)$ となります。

問題文で与えられた解の形と比較すると、

$\frac{v_0 + B}{\sqrt{A}} \sin(\sqrt{C}t) + D \sin(Et) = \frac{v_0 + 2}{\sqrt{3}} \sin(\sqrt{3}t) - \sin(2t)$

よって、$A = 3$, $B = 2$, $C = 3$, $D = -1$, $E = 2$ となります。

3. 最終的な答え

A = 3

B = 2

C = 3

D = -1

E = 2