空間内の2直線 $l: x+1 = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{-4}$ と $m: \frac{x-1}{-2} = \frac{y}{3} = z+k$ が交わるとする。 (1) 定数 $k$ の値と交点の座標を求めよ。 (2) (1)の2直線 $l, m$ を含む平面の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

空間内の2直線 $l: x+1 = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{-4}$ と $m: \frac{x-1}{-2} = \frac{y}{3} = z+k$ が交わるとする。

(1) 定数 $k$ の値と交点の座標を求めよ。

(2) (1)の2直線 $l, m$ を含む平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、直線 $l$ と $m$ をパラメータ表示する。

$l$ のパラメータ表示:

$x+1 = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{-4} = t$ とおくと、

$x = t-1$

$y = 2t+2$

$z = -4t$

$m$ のパラメータ表示:

$\frac{x-1}{-2} = \frac{y}{3} = z+k = s$ とおくと、

$x = -2s+1$

$y = 3s$

$z = s-k$

直線 $l$ と $m$ が交わるとき、$x, y, z$ の値が一致するような $t$ と $s$ が存在する。

したがって、以下の連立方程式を解く。

$t-1 = -2s+1$

$2t+2 = 3s$

$-4t = s-k$

最初の2つの式から $t$ と $s$ を求める。

$t - 1 = -2s + 1 \implies t = -2s + 2$

$2t + 2 = 3s \implies 2(-2s+2)+2 = 3s \implies -4s + 4 + 2 = 3s \implies 7s = 6 \implies s = \frac{6}{7}$

$t = -2s + 2 = -2(\frac{6}{7}) + 2 = -\frac{12}{7} + \frac{14}{7} = \frac{2}{7}$

$t = \frac{2}{7}, s = \frac{6}{7}$ を $-4t = s - k$ に代入して $k$ を求める。

$-4(\frac{2}{7}) = \frac{6}{7} - k \implies -\frac{8}{7} = \frac{6}{7} - k \implies k = \frac{6}{7} + \frac{8}{7} = \frac{14}{7} = 2$

したがって、$k = 2$

交点の座標を求める。

$x = t-1 = \frac{2}{7} - 1 = -\frac{5}{7}$

$y = 2t+2 = 2(\frac{2}{7})+2 = \frac{4}{7} + \frac{14}{7} = \frac{18}{7}$

$z = -4t = -4(\frac{2}{7}) = -\frac{8}{7}$

または

$x = -2s+1 = -2(\frac{6}{7}) + 1 = -\frac{12}{7} + \frac{7}{7} = -\frac{5}{7}$

$y = 3s = 3(\frac{6}{7}) = \frac{18}{7}$

$z = s-k = \frac{6}{7} - 2 = \frac{6}{7} - \frac{14}{7} = -\frac{8}{7}$

交点の座標は $(-\frac{5}{7}, \frac{18}{7}, -\frac{8}{7})$

(2)

直線 $l$ の方向ベクトルは $\vec{v_l} = (1, 2, -4)$

直線 $m$ の方向ベクトルは $\vec{v_m} = (-2, 3, 1)$

直線 $l, m$ を含む平面の法線ベクトルは $\vec{n} = \vec{v_l} \times \vec{v_m}$ で与えられる。

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1) - (-4)(3) \\ -4(-2) - 1(1) \\ 1(3) - 2(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+12 \\ 8-1 \\ 3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 7 \\ 7 \end{pmatrix}$

$\vec{n}$ と平行なベクトルとして $(2, 1, 1)$ を使うことができる。

平面は点 $(-\frac{5}{7}, \frac{18}{7}, -\frac{8}{7})$ を通る。

したがって、平面の方程式は

$2(x + \frac{5}{7}) + (y - \frac{18}{7}) + (z + \frac{8}{7}) = 0$

$2x + \frac{10}{7} + y - \frac{18}{7} + z + \frac{8}{7} = 0$

$2x + y + z = 0$

3. 最終的な答え

(1) $k = 2$, 交点の座標 $(-\frac{5}{7}, \frac{18}{7}, -\frac{8}{7})$

(2) $2x + y + z = 0$