空間内の2直線 $l: \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z}{2}$ と $m: \frac{x-1}{-2} = \frac{y}{3} = z+k$ が交わるとき、定数 $k$ の値と交点の座標を求める。

1. 問題の内容

空間内の2直線 $l: \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z}{2}$ と $m: \frac{x-1}{-2} = \frac{y}{3} = z+k$ が交わるとき、定数 $k$ の値と交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

直線 $l$ のパラメータ表示を $t$ を用いて表すと

$x = 2t - 1$, $y = -4t + 2$, $z = 2t$

直線 $m$ のパラメータ表示を $s$ を用いて表すと

$x = -2s + 1$, $y = 3s$, $z = s - k$

2直線が交わるためには、

$2t - 1 = -2s + 1$

$-4t + 2 = 3s$

$2t = s - k$

を満たす $s, t, k$ が存在する必要がある。

1番目の式から $2t + 2s = 2$ 、すなわち $t + s = 1$ ... (1)

2番目の式から $-4t - 3s = -2$ ... (2)

3番目の式から $2t - s = -k$ ... (3)

(1) より $s = 1 - t$ を (2) に代入すると

$-4t - 3(1 - t) = -2$

$-4t - 3 + 3t = -2$

$-t = 1$

$t = -1$

$t = -1$ を (1) に代入すると

$-1 + s = 1$

$s = 2$

$t = -1$ , $s = 2$ を (3) に代入すると

$2(-1) - 2 = -k$

$-2 - 2 = -k$

$-4 = -k$

$k = 4$

交点の座標は、 $t = -1$ を直線 $l$ のパラメータ表示に代入すると

$x = 2(-1) - 1 = -3$

$y = -4(-1) + 2 = 6$

$z = 2(-1) = -2$

よって交点の座標は $(-3, 6, -2)$

3. 最終的な答え

$k = 4$

交点の座標は $(-3, 6, -2)$