座標空間内の3点A(0,1,3)、B(1,2,4)、C(2,7,3)を頂点とする三角形ABCの面積を求める問題です。

1. 問題の内容

座標空間内の3点A(0,1,3)、B(1,2,4)、C(2,7,3)を頂点とする三角形ABCの面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角形ABCの面積は、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて計算できます。

まず、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算します。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (1,2,4) - (0,1,3) = (1, 1, 1)$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (2,7,3) - (0,1,3) = (2, 6, 0)$

次に、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積を計算します。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

1 & 1 & 1 \\

2 & 6 & 0

\end{vmatrix} = (1 \cdot 0 - 1 \cdot 6) \vec{i} - (1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) \vec{j} + (1 \cdot 6 - 1 \cdot 2) \vec{k} = -6\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k} = (-6, 2, 4)$

三角形ABCの面積は、外積の絶対値の半分で与えられます。

$\text{面積} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-6)^2 + 2^2 + 4^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 4 + 16} = \frac{1}{2} \sqrt{56} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 14} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{14} = \sqrt{14}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{14}$