4点 $A(x, y)$, $B(2, 1)$, $C(5, 2)$, $D(4, 6)$を頂点とする四角形が平行四辺形となるように、$x, y$の値を求める。 (1) 四角形ABCD (2) 四角形ADBC

1. 問題の内容

4点 $A(x, y)$, $B(2, 1)$, $C(5, 2)$, $D(4, 6)$を頂点とする四角形が平行四辺形となるように、$x, y$の値を求める。

(1) 四角形ABCD

(2) 四角形ADBC

2. 解き方の手順

平行四辺形になるための条件は、向かい合う辺が平行かつ長さが等しいこと、または対角線がそれぞれの中点で交わることです。ここでは対角線の中点が一致することを利用します。

(1) 四角形ABCDが平行四辺形になる場合

対角線はACとBDです。それぞれの対角線の中点が一致するので、

ACの中点 = BDの中点

$\left(\frac{x+5}{2}, \frac{y+2}{2}\right) = \left(\frac{2+4}{2}, \frac{1+6}{2}\right)$

$\left(\frac{x+5}{2}, \frac{y+2}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{7}{2}\right)$

したがって、

$\frac{x+5}{2} = 3$ より、$x+5 = 6$, $x = 1$

$\frac{y+2}{2} = \frac{7}{2}$ より、$y+2 = 7$, $y = 5$

(2) 四角形ADBCが平行四辺形になる場合

対角線はABとDCです。それぞれの対角線の中点が一致するので、

ABの中点 = DCの中点

$\left(\frac{x+2}{2}, \frac{y+1}{2}\right) = \left(\frac{4+5}{2}, \frac{6+2}{2}\right)$

$\left(\frac{x+2}{2}, \frac{y+1}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}, \frac{8}{2}\right)$

したがって、

$\frac{x+2}{2} = \frac{9}{2}$ より、$x+2 = 9$, $x = 7$

$\frac{y+1}{2} = 4$ より、$y+1 = 8$, $y = 7$

3. 最終的な答え

(1) 四角形ABCDの場合: $x=1, y=5$

(2) 四角形ADBCの場合: $x=7, y=7$