一辺の長さが1の正四面体OABCがある。三角形OABの重心をGとする。動点Pが条件 $\vec{OP} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = 2 |\vec{OP}|^2$ を満たしながら動くとき、$|\vec{PG}|$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCがある。三角形OABの重心をGとする。動点Pが条件 $\vec{OP} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = 2 |\vec{OP}|^2$ を満たしながら動くとき、$|\vec{PG}|$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 条件式を変形する。

$\vec{OP} = \vec{p}, \vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$ とおく。

条件式は $\vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 2 |\vec{p}|^2$ となる。

整理すると、 $2|\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 0$

両辺を2で割り、平方完成を考える。

$|\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{2} = 0$

$|\vec{p} - \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{4}|^2 - |\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}|^2 = 0$

$|\vec{p} - \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{4}|^2 = |\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}|^2$

$\vec{OH} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$ とおくと、$|\vec{OP} - \vec{OH}|^2 = |\vec{OH}|^2$ より、 $|\vec{OP} - \vec{OH}| = |\vec{OH}|$

これは点Pが点Hを中心とする半径 $|\vec{OH}|$ の球面上にあることを示す。

したがって、点Pは点Hを中心とする半径 $|\vec{OH}|$ の球面上を動く。

(2) $|\vec{OH}|$ を求める。

$|\vec{OH}|^2 = |\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}|^2 = \frac{1}{16} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$= \frac{1}{16} (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{c} + 2\vec{c} \cdot \vec{a})$

正四面体なので、 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 1 \cdot 1 \cdot \cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$

$|\vec{OH}|^2 = \frac{1}{16} (1 + 1 + 1 + 2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2})) = \frac{1}{16} (3 + 3) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$|\vec{OH}| = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

(3) $\vec{OG}$ を求める。

$\vec{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}$

(4) $|\vec{GH}|$ を求める。

$\vec{GH} = \vec{OH} - \vec{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3} = \frac{3(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 4(\vec{a} + \vec{b})}{12} = \frac{-\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c}}{12}$

$|\vec{GH}|^2 = \frac{1}{144} (-\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c}) \cdot (-\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c})$

$= \frac{1}{144} (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 6\vec{a} \cdot \vec{c} - 6\vec{b} \cdot \vec{c})$

$= \frac{1}{144} (1 + 1 + 9 + 2(\frac{1}{2}) - 6(\frac{1}{2}) - 6(\frac{1}{2})) = \frac{1}{144} (11 + 1 - 3 - 3) = \frac{6}{144} = \frac{1}{24}$

$|\vec{GH}| = \frac{1}{\sqrt{24}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

(5) $|\vec{PG}|$ の最大値と最小値を求める。

$|\vec{PG}|$ の最大値は $|\vec{GH}| + |\vec{OH}| = \frac{\sqrt{6}}{12} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6} + 3\sqrt{6}}{12} = \frac{4\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$|\vec{PG}|$ の最小値は $|\vec{OH}| - |\vec{GH}| = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{12} = \frac{3\sqrt{6} - \sqrt{6}}{12} = \frac{2\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

最小値: $\frac{\sqrt{6}}{6}$