三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=5$, $CA=4$とする。$\angle C$の二等分線と$AB$の交点を$D$とし、$\angle B$の二等分線と$CD$の交点を$I$とする。さらに、$I$を通って$BC$に平行な直線と$AB$の交点を$E$とする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) $BD$の長さを求めよ。 (2) $IE$の長さを求めよ。 (3) $\triangle DIE$の面積は$\triangle ABC$の面積の何倍であるか。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=5$, $CA=4$とする。$\angle C$の二等分線と$AB$の交点を$D$とし、$\angle B$の二等分線と$CD$の交点を$I$とする。さらに、$I$を通って$BC$に平行な直線と$AB$の交点を$E$とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $BD$の長さを求めよ。

(2) $IE$の長さを求めよ。

(3) $\triangle DIE$の面積は$\triangle ABC$の面積の何倍であるか。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$AD:DB = AC:BC$である。

したがって、$AD:DB = 4:5$となる。

$AB = AD + DB = 6$より、

$AD = 6 \times \frac{4}{4+5} = 6 \times \frac{4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$

$DB = 6 \times \frac{5}{4+5} = 6 \times \frac{5}{9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$

したがって、$BD = \frac{10}{3}$

(2) $\triangle DIE \sim \triangle DBC$である（$\because EI // BC$）。

$\angle B$の二等分線の性質より、$CI:ID = BC:BD = 5: \frac{10}{3} = 15:10 = 3:2$

$\triangle ABC$の内角の二等分線の定理より，$CD$は角Cの二等分線なので、$AD : BD = CA : CB$より、$AD:BD=4:5$。$AB=6$なので、$AD = 6 * \frac{4}{9} = \frac{8}{3}$, $BD = \frac{10}{3}$

また、$\triangle DIE \sim \triangle DBC$なので、$IE:BC=DI:DC$。 $DI:DC = 2:5$なので、$IE : 5 = 2:5$。$IE = 2$。

(3) $\triangle DIE \sim \triangle DBC$であり、その相似比は$DI:DC=2:5$であるから、面積比は$2^2:5^2=4:25$である。

$\triangle DBC$の面積を求める。三角形の面積比は底辺の比に等しいので、$\triangle DBC$の面積は$\triangle ABC$の面積の$\frac{BD}{AB} = \frac{10/3}{6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$倍である。

したがって、$\triangle DIE$の面積は$\triangle ABC$の面積の$\frac{4}{25} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{225} = \frac{4}{45}$倍である。

3. 最終的な答え

(1) $BD = \frac{10}{3}$

(2) $IE = 2$

(3) $\triangle DIE$の面積は$\triangle ABC$の面積の$\frac{4}{45}$倍